baza i wymiar

[borus87]

Koło już jutro, a w ogóle nie kumam o co chodzi w tych bazach i wymiarach :/
Mam takie zadanko (coś podobnego będzie też na kole wiec prosilbym o pomoc).

Znajdź jakąś bazę i określ wymiar:
\(\displaystyle{ W=\{(x,y,z,t)\in R^4:x+y=0,y-z=0\}}\)

Będę na prawdę bardzo wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu i jakiś komentarz do tego jeśli ktoś miałby chwilke czasu na bardziej szczegółowe wyjaśnienie. Bardzo mi zależy...

[kuch2r]

Rozwaz uklad rownan:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y=0 \\ y-z=0 \end{array}}\)
Niech:
\(\displaystyle{ z=p,t=s}\) gdzie \(\displaystyle{ p,s\in R}\)
Po podstawieniu naszego parametru otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-p \\ y=p \end{array}}\)
Zatem rozwiazaniem naszego rownania jest:
\(\displaystyle{ x=-p\\y=p\\z=p\\t=s}\)
Stad:
\(\displaystyle{ (x,y,z,t)=(-p,p,p,s)=(-p,p,p,0)+(0,0,0,s)=p(-1,1,1,0)+s(0,0,0,1)}\)
Latwoj sprawdzic ze wektory \(\displaystyle{ (-1,1,1,0),(0,0,0,1)}\) sa liniowo niezalezne zatem tworza baze przestrzeni W.
Zeby okreslic wymiar przestrzeni W wystarczy obliczyc rzad macierzy A utworzonej z wektorow bazowych.
W naszym przypadku \(\displaystyle{ rz(A)=2}\)
Zatem \(\displaystyle{ dimW=2}\)