Znaleźć macierz z warunkami na wektory i wart. własne

[zdiagonalizowany]

Witam,
mam do rozpracowania takie zadanko:
Wyznacz symetryczna macierz\(\displaystyle{ A \in M _{3 \times 3} (R)}\)spełniającą następujące warunki:
• każdy wektor płaszczyzny \(\displaystyle{ 2x+y+z = 0}\) jest jej wektorem własnym;
• jej wielomian charakterystyczny to \(\displaystyle{ 2x ^{2} -x^{3}}\)

Próbowałem zrobić to zadanko z zależności \(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\), gdzie za \(\displaystyle{ D}\) wstawiam macierz diagonalną, w tym wypadku mamy wartości władne \(\displaystyle{ 2,0,0}\) a za \(\displaystyle{ P}\) macierz powstałą z wektorów własnych.
Tu mam właśnie problem, bo skoro to jest płaszczyzna, to nie wybiorę \(\displaystyle{ 3}\) liniowo niezależnych wektorów, a co za tym idzie powstanie mi macierz o wyznaczniku \(\displaystyle{ 0}\), której nie odwrócę, więc nie będę mógł zastosować wzoru.
Mógłby mnie ktoś jakoś naprowadzić na rozwiązanie?

[norwimaj]

Jeśli

\(\displaystyle{ D=\left[\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&0&0\\0&0&2\end{array}\right]}\),

to za \(\displaystyle{ P}\) możesz przyjąć na przykład

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr}1&1&1\\-2&0&0\\0&-2&0\end{array}\right]}\).

[zdiagonalizowany]

Dzięki!
Faktycznie, teraz działa.
Jeszcze jedno pytanko - czy za trzeci wektor mogę sobie wziąć dowolny liniowo niezależny z pozostałymi?

[norwimaj]

A jednak źle. Nie uwzględniłem że macierz miała być symetryczna. Za trzeci wektor w takim razie trzeba wziąć wektor prostopadły do tej płaszczyzny, czyli na przykład \(\displaystyle{ (2,1,1)}\). Gdyby nie ten warunek, to dowolny, liniowo niezależny z poprzednimi by wystarczył.

[fon_nojman]

W tym zadaniu chodzi o to, że wektory własne odpowiadające wartości własnej \(\displaystyle{ 0}\) leżą na płaszczyźnie \(\displaystyle{ 2x+y+z = 0}\) i ją rozpinają a odpowiadające \(\displaystyle{ 2}\) są prostopadłe do niej. Bierzesz dwa wektory ortogonalne z tej płaszczyzny \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) oraz prostopadły do nich \(\displaystyle{ x_3.}\) Szukana macierz jest postaci \(\displaystyle{ P \text{diag}(0,0,2) P^{-1}}\) gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest macierzą o kolumnach \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3.}\)

[zdiagonalizowany]

Faktycznie, zapomniałem o symetryczności.
Teraz wiem już wszystko. Dzięki!

[norwimaj]

Bierzesz dwa wektory ortogonalne z tej płaszczyzny \(\displaystyle{ x_1,x_2}\)

Te dwa nie muszą być ortogonalne. Dla macierzy
\(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{rrr}1& 1& 2\\-2&0&1\\0 &-2 &1\end{array}\right]}\)

Mamy
\(\displaystyle{ P\,\text{diag}(0,0,2)\,P^{-1}=
\left[\begin{array}{rrr}\frac{4}{3}& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\\\
\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\\\
\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right]}\).

Dla ortogonalnych \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) macierz wyszłaby ta sama, bo zadałbyś to samo przekształcenie.

[fon_nojman]

Wiem. Można rozważać tylko ortogonalne i tak otrzyma się każdą szukaną macierz.

Hmm... ciekawe dlaczego w wikipedii jest inaczej

jeśli A jest macierzą symetryczną to P jest macierzą ortogonalną

wygląda na błąd.