Znaleźć macierz z warunkami na wektory i wart. własne
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 30 maja 2011, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Znaleźć macierz z warunkami na wektory i wart. własne
Witam,
mam do rozpracowania takie zadanko:
Wyznacz symetryczna macierz\(\displaystyle{ A \in M _{3 \times 3} (R)}\)spełniającą następujące warunki:
• każdy wektor płaszczyzny \(\displaystyle{ 2x+y+z = 0}\) jest jej wektorem własnym;
• jej wielomian charakterystyczny to \(\displaystyle{ 2x ^{2} -x^{3}}\)
Próbowałem zrobić to zadanko z zależności \(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\), gdzie za \(\displaystyle{ D}\) wstawiam macierz diagonalną, w tym wypadku mamy wartości władne \(\displaystyle{ 2,0,0}\) a za \(\displaystyle{ P}\) macierz powstałą z wektorów własnych.
Tu mam właśnie problem, bo skoro to jest płaszczyzna, to nie wybiorę \(\displaystyle{ 3}\) liniowo niezależnych wektorów, a co za tym idzie powstanie mi macierz o wyznaczniku \(\displaystyle{ 0}\), której nie odwrócę, więc nie będę mógł zastosować wzoru.
Mógłby mnie ktoś jakoś naprowadzić na rozwiązanie?
mam do rozpracowania takie zadanko:
Wyznacz symetryczna macierz\(\displaystyle{ A \in M _{3 \times 3} (R)}\)spełniającą następujące warunki:
• każdy wektor płaszczyzny \(\displaystyle{ 2x+y+z = 0}\) jest jej wektorem własnym;
• jej wielomian charakterystyczny to \(\displaystyle{ 2x ^{2} -x^{3}}\)
Próbowałem zrobić to zadanko z zależności \(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\), gdzie za \(\displaystyle{ D}\) wstawiam macierz diagonalną, w tym wypadku mamy wartości władne \(\displaystyle{ 2,0,0}\) a za \(\displaystyle{ P}\) macierz powstałą z wektorów własnych.
Tu mam właśnie problem, bo skoro to jest płaszczyzna, to nie wybiorę \(\displaystyle{ 3}\) liniowo niezależnych wektorów, a co za tym idzie powstanie mi macierz o wyznaczniku \(\displaystyle{ 0}\), której nie odwrócę, więc nie będę mógł zastosować wzoru.
Mógłby mnie ktoś jakoś naprowadzić na rozwiązanie?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Znaleźć macierz z warunkami na wektory i wart. własne
Jeśli
\(\displaystyle{ D=\left[\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&0&0\\0&0&2\end{array}\right]}\),
to za \(\displaystyle{ P}\) możesz przyjąć na przykład
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr}1&1&1\\-2&0&0\\0&-2&0\end{array}\right]}\).
\(\displaystyle{ D=\left[\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&0&0\\0&0&2\end{array}\right]}\),
to za \(\displaystyle{ P}\) możesz przyjąć na przykład
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr}1&1&1\\-2&0&0\\0&-2&0\end{array}\right]}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 30 maja 2011, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Znaleźć macierz z warunkami na wektory i wart. własne
Dzięki!
Faktycznie, teraz działa.
Jeszcze jedno pytanko - czy za trzeci wektor mogę sobie wziąć dowolny liniowo niezależny z pozostałymi?
Faktycznie, teraz działa.
Jeszcze jedno pytanko - czy za trzeci wektor mogę sobie wziąć dowolny liniowo niezależny z pozostałymi?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Znaleźć macierz z warunkami na wektory i wart. własne
A jednak źle. Nie uwzględniłem że macierz miała być symetryczna. Za trzeci wektor w takim razie trzeba wziąć wektor prostopadły do tej płaszczyzny, czyli na przykład \(\displaystyle{ (2,1,1)}\). Gdyby nie ten warunek, to dowolny, liniowo niezależny z poprzednimi by wystarczył.
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Znaleźć macierz z warunkami na wektory i wart. własne
W tym zadaniu chodzi o to, że wektory własne odpowiadające wartości własnej \(\displaystyle{ 0}\) leżą na płaszczyźnie \(\displaystyle{ 2x+y+z = 0}\) i ją rozpinają a odpowiadające \(\displaystyle{ 2}\) są prostopadłe do niej. Bierzesz dwa wektory ortogonalne z tej płaszczyzny \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) oraz prostopadły do nich \(\displaystyle{ x_3.}\) Szukana macierz jest postaci \(\displaystyle{ P \text{diag}(0,0,2) P^{-1}}\) gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest macierzą o kolumnach \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 30 maja 2011, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Znaleźć macierz z warunkami na wektory i wart. własne
Faktycznie, zapomniałem o symetryczności.
Teraz wiem już wszystko. Dzięki!
Teraz wiem już wszystko. Dzięki!
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Znaleźć macierz z warunkami na wektory i wart. własne
Te dwa nie muszą być ortogonalne. Dla macierzyfon_nojman pisze: Bierzesz dwa wektory ortogonalne z tej płaszczyzny \(\displaystyle{ x_1,x_2}\)
\(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{rrr}1& 1& 2\\-2&0&1\\0 &-2 &1\end{array}\right]}\)
Mamy
\(\displaystyle{ P\,\text{diag}(0,0,2)\,P^{-1}=
\left[\begin{array}{rrr}\frac{4}{3}& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\\\
\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\\\
\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right]}\).
Dla ortogonalnych \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) macierz wyszłaby ta sama, bo zadałbyś to samo przekształcenie.
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Znaleźć macierz z warunkami na wektory i wart. własne
Wiem. Można rozważać tylko ortogonalne i tak otrzyma się każdą szukaną macierz.
Hmm... ciekawe dlaczego w wikipedii jest inaczej
wygląda na błąd.
Hmm... ciekawe dlaczego w wikipedii jest inaczej
jeśli A jest macierzą symetryczną to P jest macierzą ortogonalną
wygląda na błąd.