Przekształcenie liniowe i kilka innych pytań

[warriorek]

Witam. Mam takie zadanko (testowe):

Przekształceniem liniowym jest przekształcenie dane wzorem:
a) \(\displaystyle{ f:R^3 R^2 , f(x_1,x_2,x_3)=(2x_1+x_3,x_2+1) ,}\)
b) \(\displaystyle{ f:R^2 R^3 , g(x_1,x_2)=(7x_1+3x_2,2x_1+x_2,-x_2+5x_2) ,}\)
c) \(\displaystyle{ f:R^3 R , f(x_1,x_2,x_3)=5x_1-3x_2+x_3 .}\)

Prosiłbym o uzasadnienie odpowiedzi.

I jeszcze dwa z "nieco" innej beczki:

1)Czy każdą macierz kwadratową można diagonalizować? Jeśli nie to dlaczego. (Jeśli tak, dlaczego?)
2)Co to znaczy, że punkty są komplanarne?

Pozdrawiam i dziękuję za przeczytanie

[ Dodano: 7 Styczeń 2007, 18:12 ]
Hej. To ja jeszcze raz. Wydaje mi się że znalazłem odpowiedź na pytanie testowe i 1 z pytań, ale nie jestem pewien, bo nie miałem tego na ćwiczeniach, robią tylko sprawdzian z całości algebry z wykładu, a on już niedługo (jutro).

Wydaje mi się, że tylko przekształcenia b i c są liniowe. a nie jest liniowe z uwagi na "+1" w drugiej współrzędnej przekształcenia (ale nie jestem pewien, proszę o jakiś komentarz). Jeśli chodzi o 1) pytanie znalazłem gdzieś zbiorze zadań polecenie diagonalizacji, a w nawiasie napisali "(o ile to możliwe)" stąd wnioskuje że nie każda da sie diagonalizować Z kolei 2) jak szukałem to znalazlem tylko info o wektorach komplanarnych ale nic o punktach Proszę o jakąś odpowiedź, z góry dzięki

[bucu1984]

a) nie jest bo nie jest spelniony warunek f(x)+f(y)=f(x+y)
f(x)+f(y)=f(x1,x2,x3)+f(y1,y2,y3)=(2x1+x3,x2+1)+(2y1+y3,y2+1)=
=(2x1+2y1+x3+y3,x2+y2+2)
f(x+y)=f(x1+y1,x2+y2,+x3+y3)=(2(x1+y1)+x3+y3,x2+y2+1) a wiec strona prawa nie jest rowna lewej wiec nie jest to homomorfizm pozostale sa robisz je analogicznie ale jeszcze sprawdzasz w-k jednorodnosci

[warriorek]

aha, czyli zawsze jak jest jakas stala dodana to nie zachodzi ten warunek, dobrze zrozumialem?

[bucu1984]

dobrze zrozumiales

[pulpet666]

Ja mam taką małą dygresje/pytanie, Czy przy przeksztalceniach z wyzszych wymiarów (np R^3 na R^2) , to nigdy nie bedzie chyba przeksztalcenie liniowe? poniewaz z 3 wspolzednych zaostaja 2. czy ktos mnie jednak wyprowadzi z bledu?:) Tak mi sie kojazy bo tak chyba mowil dr.Lisiecki na wykładzie,ale pewein nie jestem

[myniek]

przekształcenie z przestrzeni o większym wymiarze na przestrzeń o mniejszym wymiarze z tego co mi wiadomo również jest przekształceniem liniowym
pzdr