Forma kwadratowa i symetryczna.

[wiskitki]

Wyznacz formę kwadratową oraz odpowiadającą formę symetryczną danej formy dwuliniowej \(\displaystyle{ x_1y_2+x_1y_3-x_2y_1+3x_2y_3-2x_3y_2+x_3y_1}\). Wyznaczyłem formę kwadratową i wszystko się poredukowało, zostało tylko \(\displaystyle{ 3x_2y_1}\), a ponoć to nie jest dobry wynik. I do tego nie wiem jak wyznaczyć formę symetryczną. Z góry dzięki za odpowiedzi

[tometomek91]

To jest już forma kwadratowa, chyba chodzi o postać kanoniczną (diagonalną)?

[mustelanivalis]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\). Forma dwuliniowa

\(\displaystyle{ h \colon V \times V \ni (x,y) \mapsto h(x,y) \in \mathbb{K}}\)

zadaje formę kwadratową (czyli taką "funkcję kwadratową" na \(\displaystyle{ V}\)) wzorem

\(\displaystyle{ V \ni x \mapsto h(x,x) \in \mathbb{K}}\)

Czyli chodzi o to, żeby podstawić za \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) ten sam argument (powiedzmy \(\displaystyle{ x}\)).
Natomiast nie wiem jak policzyłeś to co Ci wyszło, ale nie jest to nawet forma kwadratowa (bo widzę tam nadal dwa argumenty \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)).

Z kolei polecenie wyznacz formę symetryczną po chwili dezorientacji zrozumiałem jako wyznaczenie formy dwuliniowej symetrycznej zadającej tę samą formę kwadratową (co zawsze da się zrobić). Dla przykładu, forma kwadratowa \(\displaystyle{ q}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) dana wzorem

\(\displaystyle{ q(x_1, x_2, x_3) = x_1 x_2 - 2x_2 x_3 + x_3^2}\)

pochodzi od symetrycznej formy dwuliniowej

\(\displaystyle{ h((x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3)) = {1 \over 2} x_1 y_2 + {1 \over 2} x_2 y_1 - x_2 y_3 - x_3 y_2 + x_3 y_3}\)

(możesz to sprawdzić podstawiając \(\displaystyle{ (x_1, x_2, x_3)}\) za \(\displaystyle{ (y_1, y_2, y_3)}\)).

[wiskitki]

Z tą formą kwadratową już wiem, o co chodzi. Natomiast ta forma symetryczna powinna wyjść \(\displaystyle{ \phi_1(x,y)=x_1y_3+x_3y_1+0.5x_2y_3+0.5x_3y_2}\), ale nie wiem na jakiej zasadzie tak wyszło.

[Lbubsazob]

Forma kwadratowa z tego \(\displaystyle{ x_1y_2+x_1y_3-x_2y_1+3x_2y_3-2x_3y_2+x_3y_1}\) wychodzi po uproszczeniu \(\displaystyle{ 2x_1x_3+x_2x_3}\), a forma symetryczna to po prostu dzielisz to na 2 części tak, żeby występowało np. \(\displaystyle{ x_1y_2}\) i \(\displaystyle{ x_2y_1}\) zamiast \(\displaystyle{ 2x_1x_2}\), w tym wypadku
\(\displaystyle{ x_1y_3+x_3y_1+\frac{1}{2}x_2y_3+\frac{1}{2}x_3y_2}\).

Wpisujesz to w macierz i masz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 0&0& \frac{1}{2} \\ 1&\frac{1}{2}&0 \end{bmatrix}}\).