Wektory własne

[skolukmar]

Muszę podać przykład macierzy \(\displaystyle{ A \in M_{2,2}(R)}\) dla której jednocześnie zachodzi:
- kazdy wektor własny lezy na prostej \(\displaystyle{ x+y=0}\)
- liczba 2 jest jedyną wartością własną.

Proszę o pomoc.

Wychodzą mi "dziwne" rzeczy. Zapisuje warunki, że wektorem własnych jest \(\displaystyle{ (x, -x)}\)
oraz równanie charakterystyczne. W ten sposób wychodzi mi macierz A o zerowym wyznaczniku, co jest chyba dziwne.

[Qń]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}3&1\\-1&1\end{bmatrix}}\)

Q.

[skolukmar]

Jesli mamy macierz: \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\) to dla niej powinno zachodzić: \(\displaystyle{ det\begin{pmatrix} a-2 & b \\ c & d-2 \end{pmatrix}=0}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 2\cdot \begin{pmatrix} x \\ -x \end{pmatrix}}\).

Czyli \(\displaystyle{ a+b=2}\) oraz \(\displaystyle{ x+d=-2}\). Mamy jeszcze warunek w równania charakterystycznego.

Macierz którą napisałeś tego nie spełnia. Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu ?

[Qń]

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 2\cdot \begin{pmatrix} x \\ -x \end{pmatrix}}\)

Zamiast \(\displaystyle{ y}\) powinno być \(\displaystyle{ -x}\).

Q.

[skolukmar]

OK, ale Twój przykład nie spełnia tych założeń. Gdzie jest więc błąd ?

[Qń]

Owszem, spełnia.

Q.

[skolukmar]

Z wyznacznikiem macierzy OK (po odjęciu wartości wałsnej) ale pierwszy Twojej macierzy nie sumuje się do dwóch.

Nie rozumie.

[Qń]

Ale przecież warunek na sumowanie się wyrazów z pierwszego wiersza do dwójki wyszedł Ci z błędnego założenia (nawiasem mówiąc i tak nie bardzo wiem w jaki sposób). Czemu się więc przy nim upierasz? Rozpisanie warunku z macierzą, po poprawieniu błędu na który zwróciłem uwagę, daje \(\displaystyle{ a-b=2,c-d=-2}\).

Q.

[skolukmar]

Aha, No tak, rzeczywiście.

Dziękuję.