czy zbior tworzy grupe

4n14 · Post autor: **4n14** » 6 sty 2007, o 15:25

Zbadac czy zbiór liczb rzeczywistych z działaniem:

\(\displaystyle{ a \oplus b = a + b + ab

tworzy grupę}\)

nei wiem co zrobic z tym ab czy to sie pomija ? tzn

\(\displaystyle{ a \oplis b = a+b+ab

b\oplus a = b+a+ab}\)
?
czy b+a+ba
ma być ?

moze ktos pomóc

kuch2r · Post autor: **kuch2r** » 6 sty 2007, o 16:03

\(\displaystyle{ (R,\oplus)}\) gdzie dzialanie jest zdefiniowane w nastepujacy sposob \(\displaystyle{ \oplus=a+b+a\cdot b}\) oraz \(\displaystyle{ +,\cdot}\) sa to zwykle dzialania dodawania i mnozenia w zbiorze liczb rzeczywistych
Jesli:
\(\displaystyle{ b\oplus a= b+a+b\cdot a=a+b+a\cdot b}\) Druga rownosc zachodzi,bo dzialania dodawania i mnozenia sa przemienne w \(\displaystyle{ R}\)

4n14 · Post autor: **4n14** » 6 sty 2007, o 16:05

a co z elementem neutralnym, odwrotnym i łącznością ?

kuch2r · Post autor: **kuch2r** » 6 sty 2007, o 16:55

Lacznosc:
\(\displaystyle{ \forall a,b,c\in R \quad a\oplus(b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus c}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ L=a\oplus(b\oplus c)=a\oplus(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc\\
P=(a\oplus b)\oplus c=(a+b+ab)\oplus c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc\\L=P}\)
Stad \(\displaystyle{ \oplus}\) jest laczne

Element neutralny:
\(\displaystyle{ \forall a\in R\quad \exists e\in R \quad a\oplus e=e \oplus a=a}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ a\oplus e=a+e+ae\\a+e+ae=a\\e+ae=0\\e=0}\)
Analogiczne dla \(\displaystyle{ e\oplus a=a}\)
Dla\(\displaystyle{ a\not= -1}\) elementem neutralnym jest \(\displaystyle{ e=0}\)
Dla \(\displaystyle{ a=-1}\) elementem neutrlanym jest dowolna liczba \(\displaystyle{ e\in R}\)

Element odwrotny:
\(\displaystyle{ \exists b\in R \quad \forall a\in R \quad a\oplus b=0=b\oplus a}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ a\oplus b=a+b+ab=0\\b+ab=-a\\b(1+a)=-a}\)
Dla \(\displaystyle{ a\not=-1}\) elementem odwrotnym jest: \(\displaystyle{ b=\frac{-a}{1+a}}\)
Dla \(\displaystyle{ a=-1}\) elementem odwrotnym jest dowolna liczba \(\displaystyle{ b\in R}\)

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 6 sty 2007, o 17:08

Alez w grupie elem. neutralny jest jedyny, a kandydat e=0, odpada bo nie moze byc
\(\displaystyle{ -1 \oplus a = -1 + a + -a=0}\) zgodne?

4n14 · Post autor: **4n14** » 6 sty 2007, o 17:11

nie rozumie tylko dlaczego sa 2 elementy neutralne i odwrotne...

[ Dodano: 6 Styczeń 2007, 17:15 ]
to jak ma byc w koncu z tym elementem neutralnym?

kuch2r · Post autor: **kuch2r** » 6 sty 2007, o 17:17

mol_ksiazkowy pisze:Alez w grupie elem. neutralny jest jedyny, a kandydat e=0, odpada bo nie moze byc
\(\displaystyle{ -1 \oplus a = -1 + a + -a=0}\) zgodne?

przeczytaj uwaznie co napisalem w poscie powyzej...
A co bedzie jesli wezmiemy element b taki, ze : \(\displaystyle{ b\not =-1}\) ??
nie znajdziemy do niego elementu neturalnego ??
wezmy dla przykladu:
\(\displaystyle{ 2\oplus 0=2+0+0\cdot 2=2}\) zgodne ??

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 6 sty 2007, o 17:44

tak, a wiec musimy wziasc G=R {-1} i wtedy jest to grupa z działeniem \(\displaystyle{ \oplus}\), i el neutralnym e=0

kuch2r · Post autor: **kuch2r** » 6 sty 2007, o 17:47

no i w ktorym momencie w moim poscie jest sprzecznosc ??

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 6 sty 2007, o 18:29

nooo tak, ale element neutralny w grupie jest jedyny...a nie dobierany "pod element", wiec G=R z dzaiłaniem \(\displaystyle{ \oplus}\) nie jest grupa...

kuch2r · Post autor: **kuch2r** » 6 sty 2007, o 18:33

doskonale zdaje sobie z sprawe z faktu, ze w grupie istnieje tylko jeden element neutralny. i raczej w moim poscie nie pojawily sie slowa mowiace nam ze para \(\displaystyle{ G,\oplus}\) tworzy grupe. Ja tylko ograniczylem sie do sprawdzenia lacznosci, istnienia elementu neutralnego i elementow odwrotnych.