Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{Z}^2_5\rightarrow \mathbb{Z}_5}\) dane wzorem \(\displaystyle{ f(a,b)=a+b}\). Wyznaczyć jądro i obraz f. Wypisać elementy jądra. Jaki jest wymiar \(\displaystyle{ \ker f}\)?
Więc jak to mają być reszty z dzielenia przez 5, to w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) można otrzymać tylko 0,1,2,3,4. Ale jak wyznaczam jądro to \(\displaystyle{ a+b=0}\), czyli \(\displaystyle{ a=-b}\), a wśród liczb 0,1,2,3,4 nie ma dwóch takich, co jedna jest przeciwnością drugiej. Wychodzi na to że nie ma jądra, a w zadaniu jest wypisać elementy jądra. więc co robię źle w takim razie.
Jądro i obraz w Z5
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Jądro i obraz w Z5
Pamiętaj, że cały czas jesteś w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\). Równanie \(\displaystyle{ a=-b}\) też w tym ciele rozpatrujesz, liczby wcale nie muszą być ujemne, żeby to spełniać jeśli o czymś takim myślisz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1267
- Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Malbork
- Podziękował: 419 razy
- Pomógł: 114 razy
Jądro i obraz w Z5
No dobrze, czyli \(\displaystyle{ a=-a}\) i jak mamy jakieś a ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,3,4\right\}}\) to \(\displaystyle{ -a}\) mamy zapisać w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\)?
Z resztą już nie wiem, np. dla \(\displaystyle{ 1}\) wyjdzie \(\displaystyle{ -1}\), ale ile to jest \(\displaystyle{ -1}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\)? Jak -1 podzielimy przez 5 to będzie \(\displaystyle{ -\frac{1}{5}}\) a to chyba mają być liczby całkowite. W takim razie nie wiem jak to zrobić.
Z resztą już nie wiem, np. dla \(\displaystyle{ 1}\) wyjdzie \(\displaystyle{ -1}\), ale ile to jest \(\displaystyle{ -1}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\)? Jak -1 podzielimy przez 5 to będzie \(\displaystyle{ -\frac{1}{5}}\) a to chyba mają być liczby całkowite. W takim razie nie wiem jak to zrobić.
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Jądro i obraz w Z5
Popatrz na \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) jak na ciało reszt z dzielenia liczb całkowitych przez \(\displaystyle{ 5}\).
Jak dzielisz \(\displaystyle{ 6:5=1}\) reszty \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ 6}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) to \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ 20:5=4}\) reszty \(\displaystyle{ 0}\), czyli \(\displaystyle{ 20}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) to \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ -1:5=-5}\) reszty \(\displaystyle{ 4}\) czyli \(\displaystyle{ -1}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) to \(\displaystyle{ 4}\)
Szukasz jądra przekształcenia i masz równanie je opisujące tzn. \(\displaystyle{ a+b=0}\)
To bierzesz po kolei:
\(\displaystyle{ a=1}\) czyli \(\displaystyle{ 1+b=0 \Leftrightarrow b=-1=4}\) czyli masz już wektor \(\displaystyle{ (1,4)}\) w jądrze. I tak dalej sprawdzasz, ciało jest skończone więc nie ma problemu.
To jest nie do końca formalnie wszystko, ale jak umieścisz odpowiednie komentarze to nie powinno być żadnych problemów.
Jak dzielisz \(\displaystyle{ 6:5=1}\) reszty \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ 6}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) to \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ 20:5=4}\) reszty \(\displaystyle{ 0}\), czyli \(\displaystyle{ 20}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) to \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ -1:5=-5}\) reszty \(\displaystyle{ 4}\) czyli \(\displaystyle{ -1}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) to \(\displaystyle{ 4}\)
Szukasz jądra przekształcenia i masz równanie je opisujące tzn. \(\displaystyle{ a+b=0}\)
To bierzesz po kolei:
\(\displaystyle{ a=1}\) czyli \(\displaystyle{ 1+b=0 \Leftrightarrow b=-1=4}\) czyli masz już wektor \(\displaystyle{ (1,4)}\) w jądrze. I tak dalej sprawdzasz, ciało jest skończone więc nie ma problemu.
To jest nie do końca formalnie wszystko, ale jak umieścisz odpowiednie komentarze to nie powinno być żadnych problemów.