Jądro i obraz w Z5

[Kanodelo]

Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{Z}^2_5\rightarrow \mathbb{Z}_5}\) dane wzorem \(\displaystyle{ f(a,b)=a+b}\). Wyznaczyć jądro i obraz f. Wypisać elementy jądra. Jaki jest wymiar \(\displaystyle{ \ker f}\)?

Więc jak to mają być reszty z dzielenia przez 5, to w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) można otrzymać tylko 0,1,2,3,4. Ale jak wyznaczam jądro to \(\displaystyle{ a+b=0}\), czyli \(\displaystyle{ a=-b}\), a wśród liczb 0,1,2,3,4 nie ma dwóch takich, co jedna jest przeciwnością drugiej. Wychodzi na to że nie ma jądra, a w zadaniu jest wypisać elementy jądra. więc co robię źle w takim razie.

[xanowron]

Pamiętaj, że cały czas jesteś w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\). Równanie \(\displaystyle{ a=-b}\) też w tym ciele rozpatrujesz, liczby wcale nie muszą być ujemne, żeby to spełniać jeśli o czymś takim myślisz.

[Kanodelo]

No dobrze, czyli \(\displaystyle{ a=-a}\) i jak mamy jakieś a ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,3,4\right\}}\) to \(\displaystyle{ -a}\) mamy zapisać w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\)?
Z resztą już nie wiem, np. dla \(\displaystyle{ 1}\) wyjdzie \(\displaystyle{ -1}\), ale ile to jest \(\displaystyle{ -1}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\)? Jak -1 podzielimy przez 5 to będzie \(\displaystyle{ -\frac{1}{5}}\) a to chyba mają być liczby całkowite. W takim razie nie wiem jak to zrobić.

[xanowron]

Popatrz na \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) jak na ciało reszt z dzielenia liczb całkowitych przez \(\displaystyle{ 5}\).

Jak dzielisz \(\displaystyle{ 6:5=1}\) reszty \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ 6}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) to \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ 20:5=4}\) reszty \(\displaystyle{ 0}\), czyli \(\displaystyle{ 20}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) to \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ -1:5=-5}\) reszty \(\displaystyle{ 4}\) czyli \(\displaystyle{ -1}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) to \(\displaystyle{ 4}\)

Szukasz jądra przekształcenia i masz równanie je opisujące tzn. \(\displaystyle{ a+b=0}\)
To bierzesz po kolei:
\(\displaystyle{ a=1}\) czyli \(\displaystyle{ 1+b=0 \Leftrightarrow b=-1=4}\) czyli masz już wektor \(\displaystyle{ (1,4)}\) w jądrze. I tak dalej sprawdzasz, ciało jest skończone więc nie ma problemu.
To jest nie do końca formalnie wszystko, ale jak umieścisz odpowiednie komentarze to nie powinno być żadnych problemów.