Dowód, że jądro i obraz są podprzestrzenią

[Kanodelo]

Udowodnić że w odwzorowaniu liniowym \(\displaystyle{ \varphi: V\rightarrow W}\): 1. jądro odwzorowania jest podprzestrzenią V, 2. obraz odwzorowania jest podprzestrzenią W.

Robiłem tak
1. Jeżeli \(\displaystyle{ x,y\in \ker \varphi}\), to \(\displaystyle{ \varphi(x)=\varphi(y)=0}\). Sprawdzamy czy \(\displaystyle{ \varphi(\alpha x+\beta y)\in V}\):
\(\displaystyle{ \varphi(\alpha x+\beta y)=\alpha\varphi(x)+\beta \varphi(y)=0+0=0\in \ker \varphi}\)

2. Jeżeli \(\displaystyle{ x,y \in \text{Im} \varphi}\), to \(\displaystyle{ \varphi(x)=x_1 \wedge \varphi(y)=y_1, \ x_1,y_1\in W}\)
Teraz czy \(\displaystyle{ \alpha x+\beta y \in \im \varphi}\)?
\(\displaystyle{ \varphi(\alpha x+\beta y)=\alpha \varphi(x)+\beta \varphi(y)=\alpha x_1+\beta y_1 \in W}\)

Mógł by ktoś rzucić okiem i ewentualnie poprawić?

[szw1710]

Jądro świetnie, obraz źle. Zakładając, że \(\displaystyle{ x\in \text{Im}\varphi}\) wnosimy, że istnieje \(\displaystyle{ x_1\in V}\) takie, że \(\displaystyle{ x=\varphi(x_1).}\) Taki błąd zrobiłeś. Resztę popraw, ale pójdzie podobnie.

[Kanodelo]

\(\displaystyle{ x\in\text{Im} \varphi \Rightarrow \ \exists_{x_1\in V} \ \varphi(x_1)=x \\
y\in\text{Im} \varphi \Rightarrow \ \exists_{y_1\in V} \ \varphi(y_1)=y}\)

Sprawdzamy czy \(\displaystyle{ \varphi(\alpha x_1+\beta y_1)\in \text{Im} \varphi ?}\)
\(\displaystyle{ \varphi(\alpha x_1+\beta y_1)=\varphi(\alpha x_1)+\varphi(\beta y_1)=\alpha \varphi(x_1)+\beta \varphi(y_1)=\alpha x+\beta y \in \text{Im} \varphi}\)

Czy teraz będzie poprawnie?

[fon_nojman]

Powinieneś sprawdzić czy \(\displaystyle{ \alpha x+\beta y\in \text{Im} \varphi.}\)

[Kanodelo]

No to już nie wiem, jeśli \(\displaystyle{ x=\varphi(x_1)}\) to jak mam sprawdzić wartość od x, jeżeli x już jest wartością a nie argumentem..?

[fon_nojman]

Po co chcesz sprawdzać wartość od \(\displaystyle{ x}\)?

[Poszukujaca]

Mam pytanie. Czy w pierwszej części dowodu o tym, że jądro odwzorowania ejst podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\). Nie powinno być, że sprawdzamy, czy \(\displaystyle{ \varphi(\alpha x+\beta y)\in Ker \ f}\)?

[szw1710]

Sprawdzenie jest dobre za wyjątkiem notacji. Mianowicie, jeśli \(\displaystyle{ x,y\in\ker\varphi}\), to \(\displaystyle{ \varphi(x)=\varphi(y)=0}\), skąd na mocy liniowości \(\displaystyle{ \varphi(\alpha x+\beta y)=\alpha\varphi(x)+\beta\varphi(y)=0}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ \alpha x+\beta y\in\ker\varphi}\) i kończy dowód. Cztery lata temu przeoczyłem tę sprawę.