Macierz przekształcenia

[Kanodelo]

Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ g:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^4}\) takie, że \(\displaystyle{ g(1,2,-1)=(1,0,1,0), \ g(4,-3,2)=(3,2,0,5), \ g(-3,5,0)=(1,-2,-1,3)}\). Znaleźć macierz \(\displaystyle{ M(g)}\), jeżeli w obu przestrzeniach przyjmiejmy bazy kanoniczne.



Czy to będzie tak: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&3&1\\0&-2&2\\1&0&-1\\0&5&3\end{bmatrix}}\) ???

[pyzol]

Przy ustaleniu, że wektory \(\displaystyle{ (1,2,-1) ,(4,-3,2) ,(-3,5,0)}\) są bazą.
Natomiast baza kanoniczna to \(\displaystyle{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\)
Musisz znaleźć więc \(\displaystyle{ g(1,0,0),g(0,1,0),g(0,0,1)}\).
Ewentualnie jest twierdzenie o postaci macierzy przy odpowiednikach bazach, ale to musisz poszukać w notatkach.

[Kanodelo]

Tak, tylko że nie jest podany wzór tej funkcji, więc jak mam znaleść \(\displaystyle{ g(1,0,0)}\)? Chyba że mam wymyśleć jakiś wzór który by to spełniał.

[pyzol]

No to trzeba znaleźć takie a,b,c, że:
\(\displaystyle{ a(1,2,-1)+b(4,-3,2)+c(-1,2,0)=(1,0,0)\\
\begin{cases}a+4b-c=1 \\ 2a-3b+2=0\\
-a+2b=0 \end{cases}}\)
Wygodniej jest to napisać w postaci równania macierzowego:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&4&-3\\2&-3&5\\-1&2&0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}}\)
Znajdź macierz odwrotną do macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&4&-3\\2&-3&5\\-1&2&0\end{bmatrix}}\)

[kaori92]

Cześć:)

Ponawiam prośbę o rozwiązanie tego zadania. Próbowałam liczyć, tak jak mówicie, ale w odpowiedziach jest macierz 4x3. Będę wdzięczna za szybką pomoc:)

[Tomek_Z]

w odpowiedziach jest macierz 4x3

Skoro \(\displaystyle{ g:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^4}\) to nie ma w tym nic dziwnego...

[kaori92]

Ok, a mógłbyś rozwiązać i wytłumaczyć zadanie?:)

[Kanodelo]

Rozwiązanie podał wyżej pyzol

[kaori92]

Hej,

Macierz odwrotna do macierzy 3x3 też ma wymiar 3x3. Co trzeba zrobić dalej z tą macierzą odwrotną? Z góry dzięki:)