nie mam pojęcia jak się zabrać za następujące zadanie:
macierz \(\displaystyle{ e^A}\) dla \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}\right]}\) wynosi...
bardzo proszę o jakieś wskazówki dotyczące rozwiązania.
macierz e^A
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
macierz e^A
Nietrudno pokazać, że
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{ccc}1&n&0\\0&1&0\\0&0&2^n\end{array}\right]}\)
Tak więc z definicji:
\(\displaystyle{ e^A= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot A^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot\left[\begin{array}{ccc}1&n&0\\0&1&0\\0&0&2^n\end{array}\right]= \\ =
\left[\begin{array}{ccc}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}&\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\cdot n&0\\0&\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}&0\\0&0&\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\cdot 2^n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}e&e&0\\0&e&0\\0&0&e^2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{ccc}1&n&0\\0&1&0\\0&0&2^n\end{array}\right]}\)
Tak więc z definicji:
\(\displaystyle{ e^A= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot A^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot\left[\begin{array}{ccc}1&n&0\\0&1&0\\0&0&2^n\end{array}\right]= \\ =
\left[\begin{array}{ccc}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}&\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\cdot n&0\\0&\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}&0\\0&0&\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\cdot 2^n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}e&e&0\\0&e&0\\0&0&e^2\end{array}\right]}\)