Sprawdzanie bazy

[Starwalker]

Mam następujący zbiór wielomianów \(\displaystyle{ \lbrace p \in R_{5}[x]: p(-1)=p(0)=0\rbrace}\) i mam sprawdzić czy zbiór \(\displaystyle{ \lbrace x^{5}- x^{3}, x^{4}-x^{2}, x^{5}-x, x^{4}+x \rbrace}\) tworzy bazę.
1. Sprawdziłem czy te wielomiany są liniowo niezależne i wyszło, że są.
2. Mam problem ze sprawdzeniem czy na ich podstawie można wygenerować każdy element.
Więc biorę wielomian \(\displaystyle{ ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f}\) i z warunków zadania wynika, że \(\displaystyle{ -a+b-c+d-e=0}\)i co mam z tym dalej robić, nie wiem za bardzo jak to dalej sprawdzać i proszę o wytłumaczenie.

[fon_nojman]

\(\displaystyle{ \lbrace p \in R_{5}[x]: p(-1)=p(0)=0\rbrace=\{W(x)(x+1)x:W \text{jest trzeciego stopnia}\}}\) czyli wymiar tej przestrzeni to \(\displaystyle{ 3.}\) \(\displaystyle{ \lbrace x^{5}- x^{3}, x^{4}-x^{2}, x^{5}-x, x^{4}+x \rbrace}\) ma cztery elementy zatem bazy powyższej przestrzeni nie tworzy.

[Starwalker]

A mógłbyś mi napisać jaki jest ogólny schemat postępowania w tego typu zadaniach?

[szw1710]

fon_nojman, Wielomiany stopnia 3 stanowią przestrzeń czterowymiarową!!! Ale Twoje rozpisanie jest tu kluczowe i z niego trzeba skorzystać w wykazaniu rozpinania.

Starwalker, skorzystaj z rozpisania fon_nojmana, napisz stosowny układ równań. Ten wielomian \(\displaystyle{ W}\) stopnia 3, weź jego współczynniki.

[fon_nojman]

Racja przecież wymiar nie jest równy stopniowi Skoro Starwalker sprawdził linową niezależność i przestrzeń \(\displaystyle{ \lbrace p \in R_{5}[x]: p(-1)=p(0)=0\rbrace}\) ma wymiar cztery to koniec zadania, zbiór \(\displaystyle{ \lbrace x^{5}- x^{3}, x^{4}-x^{2}, x^{5}-x, x^{4}+x \rbrace}\) tworzy bazę.

[szw1710]

fon_nojman, tak jest, bo wszystkie cztery wielomiany "bazowe" są w tej podprzestrzeni. Więc są bazowe bez cudzysłowu.

[Starwalker]

A moglibyście mi polecić jakąś książkę w której jest to dość dobrze wytłumaczone? Byłbym bardzo wdzięczny

[szw1710]

Kwestia wyznaczania baz? Każdy podręcznik algebry liniowej. To jest baza konkretnej przestrzeni, więc książki na ten temat nie znajdziesz. Może Algebra z serii Gewerta i Skoczylasa. Tu autorką jest też Jurlewicz. Jest tam dużo przykładów.