Baza wielomianów

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Starwalker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 20 maja 2009, o 20:51
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Baza wielomianów

Post autor: Starwalker »

Mam pytanie odnośnie poszukiwania baz. Mianowicie, mam następujące zadanie:
Znajdź bazę \(\displaystyle{ \lbrace p\in R_{3}[x]: p(1)=0\rbrace }}\)
Wybrałem następujące wielomiany: \(\displaystyle{ (x-1, x^{2}-1, x^{3}-1)}\)
Sprawdziłem ich liniową niezależność(są l.niezależne) i nie wiem jak sprawdzić, czy każdy element można wygenerować. Proszę o wytłumaczenie jak to dokładnie zrobić. Bo rozumiem, że sprawdza się tylko te 2 warunki i tyle... jeżeli jestem w błędzie to proszę o korektę;)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Baza wielomianów

Post autor: »

Wskazówka - ogólna postać wielomianu stopnia co najwyżej trzeciego spełniającego warunek \(\displaystyle{ p(1)=0}\) to \(\displaystyle{ p(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)}\). Wystarczy zatem, że wykażesz, że każdy wielomian \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) jest liniową kombinacją wielomianów \(\displaystyle{ 1,x+1,1+x+x^2}\). Widać też, że mniej pracochłonne było wybranie bazy \(\displaystyle{ x^3-x^2,x^2-x,x-1}\).

Q.
Starwalker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 20 maja 2009, o 20:51
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Baza wielomianów

Post autor: Starwalker »

No dzięki, ale właśnie prosiłem o wytłumaczenie jak to się właśnie wykazuje, bo bez tego nie dam rady zrobić tego o co mnie prosisz.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Baza wielomianów

Post autor: »

Przy ustalonych \(\displaystyle{ a,b,c}\) musisz znaleźć takie \(\displaystyle{ A,B,C}\), żeby:
\(\displaystyle{ ax^2+bx+c=A \cdot 1+B \cdot (1+x)+C \cdot (1+x+x^2)}\)
Możesz to zrobić na piechotę, porządkując prawą stronę i porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach, możesz też wykorzystać do tego macierz zmiany bazy (ale wnioskując z pytań jakie zadajesz - takich metod jeszcze nie znasz).

Q.
ODPOWIEDZ