wartości własne macierzy

[student0321]

Jak znaleźć wszytskie macierze o wymiarach 2x2 mające wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_{1}=1}\), \(\displaystyle{ \lambda_{2}=-1}\)? Proszę o pomoc

[fon_nojman]

Rozważamy dowolny operator \(\displaystyle{ A:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2}\) o wartościach własnych \(\displaystyle{ -1,1}\) i odpowiadających im wektorach własnych \(\displaystyle{ x_1,x_2.}\) \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ B}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2.}\) \(\displaystyle{ A}\) można zapisać w bazie \(\displaystyle{ B}\) jako macierz \(\displaystyle{ A_B=\begin{bmatrix} -1&0\\0&1\end{bmatrix}.}\) W bazie kanonicznej \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) mają przedstawienie \(\displaystyle{ (a,b),(c,d),\ a,b,c,d\in \mathbb{R},\ ad-bc \neq 0.}\) Macierz operatora w bazie kanonicznej to \(\displaystyle{ P^{-1} A_B P,}\) gdzie \(\displaystyle{ P=\begin{bmatrix} a&c\\b&d\end{bmatrix}.}\)

[mustelanivalis]

No jest to jakaś charakteryzacja, ale mało widać jakie to sa macierze. Można zauważyć, że jeśli macierz \(\displaystyle{ 2\times 2}\) \(\displaystyle{ A}\) ma wartości własne \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) to jej wielomian charakterystyczny musi mieć postać
\(\displaystyle{ w_A(\lambda) = (1 - \lambda)(-1 - \lambda)= \lambda^2 - 1}\)
Jeśli z kolei mamy jakąś macierz
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} a&c\\b&d\end{bmatrix}}\)
to
\(\displaystyle{ w_A(\lambda) = \det (A - \lambda I) = (a- \lambda)(d - \lambda) - bc = \lambda^2 -(a + d) \lambda + ad - bc}\)
Porównawszy współczynniki, widać, że konieczne i dostateczne warunki aby macierz \(\displaystyle{ A}\) miała wartości własne \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) to
\(\displaystyle{ a+d=0}\)
\(\displaystyle{ ad+bc=-1}\)

//Można zauważyć że te równania można bardziej abstrakcyjnie zapisać jako
\(\displaystyle{ \det A = -1}\)
\(\displaystyle{ Tr A = 0}\)
i wyrażają one po prostu równość wyznacznika macierzy \(\displaystyle{ A}\) i jej postaci diagonalnej oraz równość śladów - ale te warunki są wystarczające tylko w przypadku macierzy \(\displaystyle{ 2\times 2}\)