Macierz odwzorowania

[Kanodelo]

Niech odwzorowanie liniowe przestrzeni V będzie reprezentowane macierzą:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&1&2&3\\5&4&0&-1\\3&2&0&3\\6&1&-1&7\end{bmatrix}}\)
względem bazy \(\displaystyle{ (e_1,e_2,e_3,e_4)}\)

Znaleść macierz tego odwzorowania względem bazy \(\displaystyle{ (e_2,e_1,e_3,e_4)}\).
Poproszę o podpowiedź

[Freddy Eliot]

Możesz to zrobić dwoma sposobami. I: znaleźć macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ A=\left( e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4} \right)}\) do bazy \(\displaystyle{ B=\left( e_{2}, e _{1}, e_{3}, e_{4} \right)}\) i korzystasz ze wzoru \(\displaystyle{ F'= A^{-1}FA}\), gdzie F to dana macierz odwzorowania liniowego. II: Wyobaź sobie, że podana macierz ma wpisane nad wierszami i obok koloumn elementy bazy A. Musisz stworzyć macierz, gdzie obok wierszy i kolumn będziesz miał bazę B. Czyli poprosty zamieniasz wyrazy z macierzy z F tak żeby indeksy się zgadzały z indeksami bazy B.

[Kanodelo]

A co oznacza A w tym wzorze? Mam z tej bazy zrobić jakąś macierz czy co, bo nic z tego nie rozumiem.

[Freddy Eliot]

troszkę Ci tu namiszałam, A to macierz przejścia z bazy, którą masz \(\displaystyle{ \left( e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4} \right)}\) do bazy, w której chcesz zapisać swoją macierz:\(\displaystyle{ \left( e_{2}, e _{1}, e_{3}, e_{4} \right)}\). Wygląda ona tak:\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\), tzn. macierz tą tworzą wektory \(\displaystyle{ \left( e_{2}, e _{1}, e_{3}, e_{4} \right)}\),gdzie \(\displaystyle{ e_{n}}\) to wektor,w którym 1 stoi na n-tym miejscu, a reszta to 0. Wektory z nowej bazy ustawiamy wierszami i tak powstaje macierz A. Nie wiem, czy klarownie Ci to wytłumaczyłam.

[Kanodelo]

W celu sprawdzenia:

Ta macierz będzie wyglądało tak: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&2&3 \\ 4&5&0&-1 \\ 3&2&0&3 \\ 6&1&-1&7 \end{bmatrix}}\)?

[Freddy Eliot]

nie, powinno wyjśc: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}4&5&0&-1\\1&0&2&3\\2&3&0&3\\1&6&-1&7\end{bmatrix}}\)

[Kanodelo]

Kurcze to nie wiem ak dojść do tego wyniku :/ Ja to rozpisałem tak żeby zapisać tamte wektory z macierzy danej w zadaniu zapisać za pomocą tych z bazy \(\displaystyle{ (e_2,e_1,e_3,e_4)}\) a więc \(\displaystyle{ (0,1,2,3)=1(0,1,0,0)+0(1,0,0,0)+2(0,0,1,0)+3(0,0,0,1) \\ (5,4,0,-1)=4(0,1,0,0)+5(1,0,0,0)+0(0,0,1,0)-1(0,0,0,1) \\ (3,2,0,3)=2(0,1,0,0)+3(1,0,0,0)+0(0,0,1,0)+3(0,0,0,1) \\ (6,1,-1,7)=1(0,1,0,0)+6(1,0,0,0)-1(0,0,1,0)+7(0,0,0,1)}\) i po wpisaniu tego w macierz wychodzi mi \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&2&3 \\ 4&5&0&-1 \\ 3&2&0&3 \\ 6&1&-1&7 \end{bmatrix}}\) Jeśli nie tak to ja już nie wiem jak to zrobić.

[Freddy Eliot]

\(\displaystyle{ F=\begin{bmatrix}0&1&2&3\\5&4&0&-1\\3&2&0&3\\6&1&-1&7\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\). Wystarczy podstawić do wzoru \(\displaystyle{ F'= A^{-1}FA}\),gdzie \(\displaystyle{ F'}\) to Twoja macierz odwzorowania względem bazy \(\displaystyle{ \left\{ e_{2}, e_{1}, e_{3}, e_{4} \right\}}\)