Jądro i obraz przekształceń - do spr

[Kanodelo]

Wyznaczyć jądro i obraz przekształceń
a) \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=2x}\)
b) \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\ln(x^2+2)}\)
c) \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3, \ f(x_1, x_2, x_3)=(x_1^2, x_2^2, x_3^2)}\)
d) \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2, \ f(x)=(5x, x)}\)
e) \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2, \ f(x_1, x_2, x_3)=(x_1, x_2+1)}\)

Moje rozwiązania
a) \(\displaystyle{ ker f =0, \ imf=\mathbb{R}}\)
b) \(\displaystyle{ ker f=\emptyset, \ imf=\emptyset}\)
c) \(\displaystyle{ kerf=\{(0,0,0)\}, \ imf=\{(0,0)\}}\)
d) \(\displaystyle{ ker f=\{(0,-1)\}, \ imf=\{(0,-1)\}}\)
e) \(\displaystyle{ ker f=\{(0,-1,0)\}, \ imf=\{(0,0)\}}\)
Prosze o sprawdzanie i ewentualne wskazanie błędów.

[xiikzodz]

a) \(\displaystyle{ \ker f=\{0\}}\)

b) \(\displaystyle{ mbox{im}f=[ln 2,+infty)}\)

c) \(\displaystyle{ \mbox{im}f=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x\ge 0\land y\ge 0\land z\ge 0\}}\)

d) \(\displaystyle{ \ker f=\{0\}}\), \(\displaystyle{ \mbox{im}f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x=5y\}}\)

e) \(\displaystyle{ \ker f=\{(0,-1,t)\in\mathbb{R}^3:t\in\mathbb{R}\}}\), \(\displaystyle{ \mbox{im}f=\mathbb{R}^2}\)

[Kanodelo]

Dziękuje przez weekend skumałem o co chodzi i już wiem