Które z odwzorowań są liniowe?

[Kanodelo]

Niech \(\displaystyle{ R[x]_n}\) będzie przestrzenią liniową wielomianów zmiennej x stopnia co najwyżej n. Które z poniższych odwzorowań \(\displaystyle{ F:R[x]_n\rightarrow R[x]_n}\) są liniowe?
a) \(\displaystyle{ F:f(x)\rightarrow f(-x)}\)
b) \(\displaystyle{ F:f(x)\rightarrow f(ax+b), \ a,b\in \mathbb{R}}\)
c) \(\displaystyle{ F:f(x)\righatrrow f^{(k)}(x)}\) (k-ta pochodna)

[szw1710]

b) jest liniowe, a) to jego szczególny przypadek, c) nie jest, sam wymyśl przykład. Brak tu i addytywności, i jednorodności.

[Kanodelo]

Właśnie nie bardzo rozumiem o co chodzi w tym zadaniu, bo zawsze jak się sprawdzalo liniowość to się podstawiało \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\), ale tutaj chyba nie, bo po obu stronach mam jakąś funkcje. Pewnie trzeba wymyśleć jakiś przykład, żeby pokazać czy jest to liniowe. Jeżeli tak, to czy w przykładzie a może być dowolna funkcja nieparzysta, bo \(\displaystyle{ f(x,y)=f(-x,-y)=-f(x,y)}\), czyli f jest funkcja nieparzystą. Ale nie wiem czy o to tutaj chodzi.

[szw1710]

To są operatory działające na funkcjach. Argumentami są funkcje!!!

[Kanodelo]

Co nie zmienia faktu, że i tak nie wiem o tutaj co chodzi. Normalnie jak sprawdzam czy jest liniowe, to za \(\displaystyle{ x}\) podstawiam \(\displaystyle{ x+y}\), a tutaj już nie wiem co mam zrobić jak są te funkcje.

[szw1710]

Właśnie nie podstawiasz \(\displaystyle{ x,y}\), ale \(\displaystyle{ f,g}\). Argumentami tych operatorów są funkcje, a wzory mówią, jaką funkcję dany operator przypisuje funkcji będącej argumentem, stąd rola \(\displaystyle{ x}\) jako argumentu funkcji. Obrazem funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest funkcja \(\displaystyle{ F(f)}\) określona wzorem \(\displaystyle{ F(f)(x)=\dots}\). Przecież funkcję musisz jakoś określić. Rozumiem, że badanie operatorów działających na innych obiektach niż liczby, może Ci na początek sprawiać trudność.

Masz sprawdzić, że

\(\displaystyle{ F(f+g)=F(f)+F(g),}\)

więc musisz sprawdzić, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ F(f+g)(x)=F(f)(x)+F(g)(x)}\). Podobnie z jednorodnością.