Obraz ijądro odwzorowania

[Kanodelo]

Wyznacz jądro i obraz przekształcenia liniowego:
\(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3, \ f(x_1, x_2, x_3)=(2x_1-x_2+3x_3, x_1-2x_2+4x_3)}\)

[alfgordon]

\(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2}\) czy może we wzorze odwzorowania zgubiłeś przecinek?

[Kanodelo]

Tak zgadza się, \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) ma być

[alfgordon]

aby znaleźć jądro rozwiąż układ:
\(\displaystyle{ f(x_1 ,x_2 ,x_3 )=(0,0)}\)

obraz("rozbijasz" na sumę \(\displaystyle{ n}\) czynników):
\(\displaystyle{ x_1 (2,1) +x_2 (-1,-2) +x_3 (3,4)}\)

\(\displaystyle{ Imf=Lin\left\{ (2,1),(-1,-2),(3,4)\right\}}\)

oczywiście rząd obrazu (w tym przypadku) nie może wynosić \(\displaystyle{ 3}\)

[Kanodelo]

Okej, czyli \(\displaystyle{ f(x_1,x_2,x_3)=(2x_1-x_2+3x_3, x_1-2x_2+4x_3)}\)
i żeby to było \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) to
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_1-x_2+3x_3=0 \\ x_1-2x_2+4x_3=0 \end{cases}}\)
z tego wyjdą jakieś dwa parametry, nie chce mi się liczyć

A żeby wyznaczyć ten obraz to nie wystarczy sprawdzić ile jest tych parametrów? Bo nam facet na ćwiczeniach pokazał jeden przykład i tam wyszło, że są 2 parametry, więc obrazem jest \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), tutaj tak nie jest?

[alfgordon]

rozwiązując ten układ będziesz miał jeden parametr...

a co do obrazu, to będziesz miał: \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)
ponieważ wymiar obrazu jest równy \(\displaystyle{ 2}\)

[Kanodelo]

Aha dobra, chyba zaczynam to kumać czyli poprostu liczy się \(\displaystyle{ f(x_1,x_2,x_3)}\) wpisuje to w macierz i liczy rząd tej macierzy. To jak mam np. \(\displaystyle{ f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2+1)}\) to będzie \(\displaystyle{ f(1,0,0)=(1,1) \\ f(0,1,0)=(0,2) \\ f(0,0,1)=(0,1)}\)
wpisuje w macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{bmatrix}}\)
mamy dwa liniowo niezależne wektor czyli wymiar obrazu to \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)
O to tu chodzi?