Które z odwzorowań są liniowe?

[Kanodelo]

Które z podanych odwzorowań są przekształceniami liniowymi
a) \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=2x}\)
b) \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\ln(x^2+2)}\)
c) \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3, \ f(x_1, x_2, x_3)=(x_1^2, x_2^2, x_3^2)}\)
d) \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2, \ f(x)=(5x, x)}\)
e) \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2, \ f(x_1, x_2, x_3)=(x_1, x_2+1)}\)

a) \(\displaystyle{ f(x,y)=2x+2y \\ f(x)+f(y)=2x+2y}\)
jest liniowe

b) \(\displaystyle{ f(x,y)=\ln(x^2+2xy+y^2+2) \\ f(x)+f(y)=\ln(x^2+2)+\ln(y^2+2)=\ln(x^2y^2+2x^2+2y^2+4)}\)
nie jest liniowe

c) \(\displaystyle{ f(x_1+y_1+z_1, x_2+y_2+z_2, x_3+y_3+z_3)=(x_1+y_1+z_1)^2+(x_2+y_2+z_2)^2+(x_3+y_3+z_3)^2 \\ f(x_1, y_1, z_1)+f(x_2, y_2, z_2)+f(x_3, y_3, z_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2+z_1^2+z_2^2+z_3^2}\)
nie jest liniowe

d) \(\displaystyle{ f(x+y)=5x+5y, x+y \\ f(x)+f(y)=5x, x + 5y, y}\)
jest liniowe

e) \(\displaystyle{ f(x_1+ y_1+z_1, x_2+ y_2+ z_2, x_3+ y_3+ z_3)=(x_1+ y_1+ z_1, x_2+ y_2+ z_2+1) \\ f(x_1, y_1, z_1)+f(x_2, y_2, z_2)+f(x_3, y_3, z_3)=(x_1, x_2+1)+(y_1, y_2+1)+(z_1, z_2+1)}\)
nie jest liniowe

Zgadza się??

[miki999]

Przypominam, że na przekształcenie liniowe są 2 warunki, a nie jeden. W tym zadaniu miałeś szczęście. Wyniki są dobre.

Kilka uwag:
d) zapis do bani: brakuje nawiasów, w 2. linijce, bóg raczy wiedzieć czemu, masz trójkę zamiast dwójki uporządkowanej.
e) dodawanie \(\displaystyle{ z}\) jest niepotrzebne + niedoprowadzone do końca- dodaj nawiasy



Pozdrawiam.

[Kanodelo]

Właśnie my na cwiczeniach sprawdzaliśmy tylko jeden warunek, dlatego tak robiłem.
Ale ok, racja, w d powinno być
\(\displaystyle{ f(x+y)=(5x+5y, x+y) \\ f(x)+f(y)=(5x,x)+(5y,y)}\)
czyli jest liniowe
A w przykładzie e
\(\displaystyle{ f(x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3)=(x_1+y_1, x_2+y_2+1) \\ f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)+f(x_3+y_3)=(x_1,y_1+1)+(x_2,y_2+1)+(x_3,y_3+1)}\)
czyli nie jest liniowe bo po dodaniu tego wyjdzie cośtam +3, a nie +1

[miki999]

czyli nie jest liniowe bo po dodaniu tego wyjdzie cośtam +3, a nie +1

Wszystko ok, tylko ktoś nadgorliwy mógłby oczekiwać do doprowadzenia do postaci z \(\displaystyle{ +3}\) (do 1 nawiasu). Mnie to osobiście nie razi, ale nigdy nie wiadomo na kogo trafisz i kto będzie oceniał Twoją pracę.

[Lbubsazob]

c) \(\displaystyle{ f(x_1+y_1+z_1, x_2+y_2+z_2, x_3+y_3+z_3)=(x_1+y_1+z_1)^2+(x_2+y_2+z_2)^2+(x_3+y_3+z_3)^2 \\ f(x_1, y_1, z_1)+f(x_2, y_2, z_2)+f(x_3, y_3, z_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2+z_1^2+z_2^2+z_3^2}\)
nie jest liniowe

Moim zdaniem to jest źle, bo trzeba sprawdzić, czy \(\displaystyle{ f(x+y+z)=f(x)+f(y)+f(z)}\). Jeżeli
\(\displaystyle{ x=\left( x_1,x_2,x_3\right) \\
y=\left( y_1,y_2,y_3\right) \\
z=\left( z_1,z_2,z_3\right)}\)
to \(\displaystyle{ x+y+z=\left( x_1+y_1+z_1,x_2+y_2+z_2,x_3+y_3+z_3\right)}\) i musi być
\(\displaystyle{ f\left( x_1+y_1+z_1,x_2+y_2+z_2,x_3+y_3+z_3\right)=f\left( x_1,x_2,x_3\right)+f\left( y_1,y_2,y_3\right)+f\left( z_1,z_2,z_3\right)}\)
a nie
\(\displaystyle{ f\left( x_1+y_1+z_1,x_2+y_2+z_2,x_3+y_3+z_3\right)=f\left( x_1,y_1,z_1\right)+f\left( x_2,y_2,z_2\right)+f\left( x_3,y_3,z_3\right)}\)
To samo w przykładzie e.

[miki999]

A jaką rolę odgrywa tu \(\displaystyle{ z}\)?

Oczywiście potwierdzam powyższą uwagę. Spojrzałem pobieżnie na rozwiązanie, nie zastanawiając się zbytnio.

[Lbubsazob]

A jaką rolę odgrywa tu \(\displaystyle{ z}\)?

Fakt, żadną W ogóle go tu nie powinno być.