Witam. Prośbę swoją kieruję o zweryfikowanie mojego tłumaczenie i jak ktoś może, potrafi rozpisanie tego dowodu w sposób bardziej zrozumiały;)
Lemma 9.6 Let S be a linear operator on a real inner product space U. Then
there exists a linear isometry A on U such that \(\displaystyle{ S=A\sqrt{S^{*}S}}\).
Proof. For u ∈ U we have
\(\displaystyle{ \|\sqrt{S^{*}S}u\|^{2}=\langle \sqrt{S^{*}S}u, \sqrt{S^{*}S}u\rangle=\langle S^{*}Su, u\rangle=\langle Su, Su\rangle=\|Su\|^2.}\).
In other words, \(\displaystyle{ \|\sqrt{S^{*}S}u\|=\|Su\|}\). Thus the function A defined on ran\(\displaystyle{ \sqrt{S^{*}S}}\) by \(\displaystyle{ A(\sqrt{S^{*}S}u)=Su}\) is well defined and is a linear isometry from ran\(\displaystyle{ \sqrt{S^{*}S}}\) onto ran S.
Extend A to a linear isometry of U onto U by first extending A to be any isometry
of \(\displaystyle{ (\sqrt{S^{*}S})^{\bot}}\) onto \(\displaystyle{ ( S)^{\bot}}\) (these two spaces have the same dimension, because
we have just seen that there is a linear isometry of ran\(\displaystyle{ \sqrt{S^{*}S}}\) onto ran S), and then
extend A to all of U by linearity (with the Pythagorean Theorem showing that A
is an isometry on all of U). The construction of A shows that \(\displaystyle{ S=A\sqrt{S^{*}S}}\), as
desired.
here, as usual, ran is an abbreviation for range.
Niech S będzie liniowym operatorem na iloczynie skalarnym przestrzeni U. Wówczas istnieje liniowa izometria A na U taka, że \(\displaystyle{ S=A\sqrt{S^{*}S}}\).
Dla \(\displaystyle{ u\in U}\) mamy \(\displaystyle{ \|\sqrt{S^{*}S}u\|^{2}=\langle \sqrt{S^{*}S}u, \sqrt{S^{*}S}u\rangle=\langle S^{*}Su, u\rangle=\langle Su, Su\rangle=\|Su\|^2.}\)
Innymi słowy, \(\displaystyle{ \|\sqrt{S^{*}S}u\|=\|Su\|}\). W ten sposób funkcja A jest określona, jako \(\displaystyle{ A^{'} \sqrt{S^{*}S}}\) przez \(\displaystyle{ A(\sqrt{S^{*}S}u)=Su}\) i jest liniową izometrią z \(\displaystyle{ A^{'} \sqrt{S^{*}S}}\) na \(\displaystyle{ A^{'} S}\). Rozszerzenie A do liniowej izometrii z U na U jest pierwszym rozszerzeniem A do dowolnej izometrii z \(\displaystyle{ (A^{'}\sqrt{S^{*}S})^{\bot}}\) na \(\displaystyle{ (A^{'} S)^{\bot}}\).
Obie te przestrzenie mają ten sam wymiar, ponieważ są to liniowe izometrie z \(\displaystyle{ \sqrt{S^{*}S}}\) na \(\displaystyle{ A^{'}S}\). Wtedy rozszerzenie A na całym U jest liniowe (twierdzenie Pitagorasa pokazuje, że A jest izometrią na całym U). Konstrukcja A pokazuje, że \(\displaystyle{ S=A\sqrt{S^{*}S}}\).
ran-przekrój, zakres
moim zdaniem
\(\displaystyle{ A^{'}}\) przeciwobraz