Metoda Lagrangea sprowadzania form kwadratowych do kanoniczn

[tometomek91]

Sprowadź do postaci kanonicznej metodą Lagrange'a:
\(\displaystyle{ F(x)=2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3}\)
pierwsze podstawienie:
\(\displaystyle{ x_1=y_1-y_2\\
x_2=y_1+y_2\\
x_3=y_3}\)
dostaję
\(\displaystyle{ F(x)=2y_1^2-2y_2^2-4y_1y_3+8y_2y_3}\)
następnie podstawiamy
\(\displaystyle{ z_1=2y_1-4y_3\\
z_2=y_2\\
z_3=y_3}\)
Stąd
\(\displaystyle{ F(x)=-\frac{1}{2}z_1^2-2z_2^2+2z_1z_3+8z_2z_3}\)
dalej podstawienie
\(\displaystyle{ u_1=z_1\\
u_2=2z_2+8z_3\\
u_3=z_3}\)
i mamy
\(\displaystyle{ F(x)=-\frac{1}{2}u_1^2-\frac{1}{2}u_2^2+32u_3^2+2u_1u_3-12u_2u_3-96u_3^2}\)
Gdzie jest błąd?
W książce w ogóle podstawili za drugim razem:
\(\displaystyle{ z_1=2y_1-2y_3\\
z_2=y_2\\
z_3=y_3}\)
Dlaczego tak? Proszę o pomoc.

[alfgordon]

po twoim pierwszym podstawieniu

\(\displaystyle{ F(x)=2y_1^2-2y_2^2-4y_1y_3+8y_2y_3 =2(y_{1} -y_{3})^2 -2y_{3}^{2} -2(y_{2} -2y_{3})^2 +8y_{3}^{2} =2(y_{1} -y_{3})^2 -2(y_{2} -2y_{3})^2 +6y_{3}^{2}}\)

podstawienie:
\(\displaystyle{ u_{1}=y_{1} -y_{3}}\)
\(\displaystyle{ u_{2}=y_{2} -2y_{3}}\)
\(\displaystyle{ u_{3}=y_{3}}\)

[tometomek91]

A jak najpierw znaleźć podstawiene bez kombinowania i zwijania wyrazów do pełnego kwadratu? W książce napisane jest, żeby znaleźć
\(\displaystyle{ F_1(x)=F(x)-\alpha_{11}^{-1}(\alpha_{11}x_1+\alpha_{12}x_2+...+\alpha_{1n}x_n)^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\)-y to współczynniki formy (tutaj zakładamy, że przy \(\displaystyle{ x_1^2}\) jest niezerowy współczynnik)
następnie podstawiamy
\(\displaystyle{ y_1=\alpha_{11}x_1+\alpha_{12}x_2+...+\alpha_{1n}x_n\\
y_2=x_2\\
\vdots \\
y_n=x_n}\)
Dlatego dla tej formy \(\displaystyle{ F(x)=2y_1^2-2y_2^2-4y_1y_3+8y_2y_3}\) mamy
\(\displaystyle{ F_1=F(x)-\frac{1}{2}(2y_1-4y_3)^2}\)
stąd
\(\displaystyle{ F(x)=F_1+\frac{1}{2}(2y_1-4y_3)^2=F_1+\frac{1}{2}z_1^2}\) gdzie \(\displaystyle{ F_1}\) nie zawiera już \(\displaystyle{ y_1}\)
postępujemy tak aż nie uzyskamy formy kanonicznej...
czy to jest poprawny sposób?

[alfgordon]

tak samo miałem przedstawione na wykładzie, więc sposób jest dobry

[tometomek91]

Więc dlaczego w książce zrobili inne podstawienie. Najpierw omówili całą teorię ładnie, na następnej stronie dla przykładu pokazują własnie taką formę i inaczej podstawiają niż pokazano w teorii...

Czy mógłbyś zrobić ten przykład właśnie tym sposobem?
Dzięki z góry, alfgordon

[alfgordon]

już chyba wiem o co chodzi..w wykładzie mam:
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{a_{11}} (a_{11}y_{1} +...+a_{1n}y_{n})^2 +F_{1}(y_{2},...,y_{n})}\)

więc najpierw musisz to "schować" do wzoru,a potem zastosować podstawienie

i wtedy w książce jest dobre podstawienie:
\(\displaystyle{ z_{1}=2y_{1} -2y_{3}}\)

a u Ciebie:
\(\displaystyle{ F_1=F(x)-\frac{1}{2}(2y_1-4y_3)^2}\)

będziesz miał czynnik: \(\displaystyle{ -8y_{1}y_{3} \neq -4y_{1}y_{3}}\)

a więc w \(\displaystyle{ F_{1}}\) będziesz miał: \(\displaystyle{ y_{1}}\)... a nie możesz go mieć

[tometomek91]

Dzięki bardzo! Nareszcie obczaiłem to Dzięki jeszcze raz.