Udowodnić, że
\(\displaystyle{ (\cos \varphi +i \sin \varphi)^n=\cos n \varphi + i \sin n\varphi}\).
Kawałek wzoru De Moivre'a
-
szw1710
Kawałek wzoru De Moivre'a
Trywialnie pokazujesz, że
\(\displaystyle{ (\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)}\)
Korzystasz po prostu ze wzorów na sinus i cosinus sumy. Reszta jest już trywialna.
Można się tez wykpić:
\(\displaystyle{ (\cos\alpha+i\sin\alpha)^n=(e^{i\alpha})^n=e^{in\alpha}=\cos n\alpha+i\sin n\alpha}\)
ale to nie pokazuje istoty rzeczy. Szczegóły tkwią w poprzednim rozumowaniu.
\(\displaystyle{ (\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)}\)
Korzystasz po prostu ze wzorów na sinus i cosinus sumy. Reszta jest już trywialna.
Można się tez wykpić:
\(\displaystyle{ (\cos\alpha+i\sin\alpha)^n=(e^{i\alpha})^n=e^{in\alpha}=\cos n\alpha+i\sin n\alpha}\)
ale to nie pokazuje istoty rzeczy. Szczegóły tkwią w poprzednim rozumowaniu.