Operator, macierz w nowej bazie

[petro]

Dane jest działanie operatora A w bazie \(\displaystyle{ (e_1, e_2, e_3)}\). Wypisać macierz tego
operatora a następnie wyliczyć jego macierz w nowej bazie \(\displaystyle{ (f_1, f_2, f_3)}\)

\(\displaystyle{ A_{e1} = 3e_1 - 2e_2 + 5e_3}\)
\(\displaystyle{ A_{e2} = −e_1 + 7e_2 + 2e_3}\)
\(\displaystyle{ A_{e3} = e_1 + e_2 - e_3}\)

\(\displaystyle{ f_1 = e_1}\)
\(\displaystyle{ f_2 = 3e_1 + e_2}\)
\(\displaystyle{ f_3 = −e_1 - e_3}\)

Prosiłbym o informacje jak rozwiązać to zadanie?

[fon_nojman]

Przypomnij sobie co to jest macierz operatora i masz rozwiązane zadanie z bazą \(\displaystyle{ (e_1,e_2,e_3).}\)

[petro]

Macierz operatora będzie miała postać:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 3&1&1\\-2&7&1\\5&2&-1\end{vmatrix}}\)

Dobrze rozumiem, że tworze ją z parametrów przy \(\displaystyle{ e_1, e_2, e_3}\) z \(\displaystyle{ A_{e1} itp.}\)??

Co dalej?

[fon_nojman]

Jest dobrze.

Teraz znajdź macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ (e_1,e_2,e_3)}\) do \(\displaystyle{ (f_1,f_2,f_3).}\)

[petro]

Jest dobrze.

Teraz znajdź macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ (e_1,e_2,e_3)}\) do \(\displaystyle{ (f_1,f_2,f_3).}\)

Właśnie nie wiem jak to zrobić, mógłbym prosić o jakieś wskazówki?

[fon_nojman]

Sorki, łatwiej będzie z bazy \(\displaystyle{ f}\) do \(\displaystyle{ e.}\)

Musimy znaleźć macierz \(\displaystyle{ B}\) dla której \(\displaystyle{ Bx_f=x_e}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x.}\)

\(\displaystyle{ x_e}\) to wektor \(\displaystyle{ x}\) zapisany w bazie \(\displaystyle{ (e_1,e_2,e_3).}\)
\(\displaystyle{ x_f}\) to wektor \(\displaystyle{ x}\) zapisany w bazie \(\displaystyle{ (f_1,f_2,f_3).}\)