Czy forma okresla iloczyn skalarny?

[lenkaja]

Czy dla \(\displaystyle{ x,y \in R ^{2}}\) forma
\(\displaystyle{ f(x,y)=2x _{1}y _{1}+x _{1}y _{2}+x _{2}y _{1}+2y _{2}x _{2}}\)
okresla iloczyn skalarny?
Jaka jest macierz tej formy?

[szw1710]

Macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}\)

Jest to macierz formy kwadratowej generowanej przez tę formę dwuliniową, czyli macierz formy \(\displaystyle{ f(x,x).}\)

Iloczyn skalarny to funkcjonał dwuliniowy symetryczny. Sprawdź liniowość ze względu na pierwszą zmienną oraz symetrię - to wystarczy.

[lenkaja]

A skad sie bierze ta macierz?

[szw1710]

\(\displaystyle{ f(x,y)=\sum_{i,j}a_{ij}x_iy_j}\), \(\displaystyle{ x=(x_1,\dots,x_n)}\), \(\displaystyle{ y=(y_1,\dots,y_n)}\)

Wyrazy tej macierzy to \(\displaystyle{ a_{ij}}\).