Macierz odwracalna - dowodzik

[wiskitki]

Wykaż, że jeżeli macierz A jest odwracalna, a macierz B powstaje z macierzy A przez wykonanie operacji elementarnych na wierszach, to macierz B też jest odwracalna.

[szw1710]

Każda operacja elementarna na wierszach wiąże się z pomnożeniem danej macierzy z lewej strony przez pewną macierz nieosobliwą. Wyznacznik iloczynu macierzy jest iloczynem wyznaczników (tw. Cauchy'ego), więc niezerowość wyznacznika, czyli nieosobliwość macierzy się zachowuje. A nieosobliwość macierzy jest warunkiem koniecznym i wystarczającym odwracalności.

Np. przestawienie drugiego i trzeciego wiersza macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) realizujemy tak:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
a&b&c\\ g&h&i\\ d&e&f
\end{bmatrix}}\)

Proponuję znalezienie macierzy realizujących pozostałe operacje elementarne. Może być na przykładzie macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3,}\) bo to jest dość reprezentatywne.

[wiskitki]

Czyli powinienem wziąść jakąś macierz 3x3 i pokazać na jej przykładzie operacje elementarne (zamiana wierszy, mnożenie przez liczbę itd.). Ale czy to będzie koniec dowodu ?

[szw1710]

Nie koniec, tylko ilustracja dla lepszego zrozumienia. Potem jeśli zrealizujesz operacje elementarne za pomocą mnożenia macierzy jak napisałem wyżej, ale dla ogólnej macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ n\times n,}\) to otrzymasz dowód.

Często analizuje sie przypadki szczególne, aby nabyć intuicji, doświadczenia, czy zyskać pomysł. To była moja propozycja z macierzą \(\displaystyle{ 3\times 3}\).