Znajdź wszystkie macierze A, dla których...
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 29 kwie 2008, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radomsko
- Podziękował: 6 razy
Znajdź wszystkie macierze A, dla których...
Znajdź wszystkie macierze A, dla których:
a) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right] \cdot A=A \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right]}\)
b) \(\displaystyle{ A^{2}=\left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]}\)
a) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right] \cdot A=A \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right]}\)
b) \(\displaystyle{ A^{2}=\left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]}\)
Ostatnio zmieniony 15 maja 2011, o 21:04 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości (symbol mnożenia należy generować poleceniem \cdot).
Powód: Poprawa wiadomości (symbol mnożenia należy generować poleceniem \cdot).
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Znajdź wszystkie macierze A, dla których...
W obu przypadkach macierz \(\displaystyle{ A}\) musi być 2x2, więc jest postaci \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c& d \end{array}\right]}\) dla pewnych liczb \(\displaystyle{ a,b,c,d}\). Wykonaj odpowiednie mnożenia i rozwiąż otrzymane układy równań.
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Znajdź wszystkie macierze A, dla których...
a) Można uprościć
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right] \cdot A=A \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right] \Leftrightarrow \left(\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&0\end{array}\right]+I\right) \cdot A=A \cdot \left(\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&0\end{array}\right]+I\right) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&0\end{array}\right] \cdot A=A \cdot \left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&0\end{array}\right].}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right] \cdot A=A \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right] \Leftrightarrow \left(\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&0\end{array}\right]+I\right) \cdot A=A \cdot \left(\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&0\end{array}\right]+I\right) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&0\end{array}\right] \cdot A=A \cdot \left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&0\end{array}\right].}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 29 kwie 2008, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radomsko
- Podziękował: 6 razy
Znajdź wszystkie macierze A, dla których...
@fon_nojman: nie bardzo rozumiem, ale dzięki za zainteresowanie xD
Co do postu Łukasza: skąd wiadomo, że jest 2x2?
Co do postu Łukasza: skąd wiadomo, że jest 2x2?
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Znajdź wszystkie macierze A, dla których...
Po pierwsze macierze muszą być kwadratowe, w przeciwnym razie nie wykonalne jest mnożenie z jednej i drugiej strony przez macierz kwadratową (tak jak w a)), względnie nie ma sensu mnożenie macierzy przez samą siebie (jak w b)).
Wymiar macierzy wynika natomiast z ilości kolumn i wierszy macierzy, przez które mnożymy.
Wymiar macierzy wynika natomiast z ilości kolumn i wierszy macierzy, przez które mnożymy.
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Znajdź wszystkie macierze A, dla których...
Jeszcze jedno niezrozumiałe uproszczenie.
b) \(\displaystyle{ det A=0}\) czyli wystarczy rozważać macierze \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ ca& cb \end{array}\right],\ a,b,c\in \mathbb{R}.}\)
b) \(\displaystyle{ det A=0}\) czyli wystarczy rozważać macierze \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ ca& cb \end{array}\right],\ a,b,c\in \mathbb{R}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 29 kwie 2008, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radomsko
- Podziękował: 6 razy
Znajdź wszystkie macierze A, dla których...
Prosiłbym o sprawdzenie mojego rozwiązania:
a)
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]\right = \left[\begin{array}{ccc}a+c&b+d\\2a+c&2b+d\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]\right \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}a+2b&a+b\\c+2d&c+d\end{array}\right]}\)
Teraz wystarczy porównać na poszczególnych współrzędnych wartości?
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=a+2b \\ b+d = a+b \\ 2a+c = c+2d \\ 2b+d = c+d \end{cases}}\)
a z tego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} c = 2b \\ d = a \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\2b&a\end{array}\right]\right}\)
W b) mi wyszło
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}0&0\\c&0\end{array}\right]\right \\ lub \\ A= \left[\begin{array}{ccc}0&b\\0&0\end{array}\right]\right \\ b,c-dowolne}\)
Dobrze?
a)
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]\right = \left[\begin{array}{ccc}a+c&b+d\\2a+c&2b+d\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]\right \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}a+2b&a+b\\c+2d&c+d\end{array}\right]}\)
Teraz wystarczy porównać na poszczególnych współrzędnych wartości?
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=a+2b \\ b+d = a+b \\ 2a+c = c+2d \\ 2b+d = c+d \end{cases}}\)
a z tego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} c = 2b \\ d = a \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\2b&a\end{array}\right]\right}\)
W b) mi wyszło
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}0&0\\c&0\end{array}\right]\right \\ lub \\ A= \left[\begin{array}{ccc}0&b\\0&0\end{array}\right]\right \\ b,c-dowolne}\)
Dobrze?