Znajdź wszystkie macierze A, dla których...

[Max1414]

Znajdź wszystkie macierze A, dla których:

a) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right] \cdot A=A \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right]}\)

b) \(\displaystyle{ A^{2}=\left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]}\)

[lukasz1804]

W obu przypadkach macierz \(\displaystyle{ A}\) musi być 2x2, więc jest postaci \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c& d \end{array}\right]}\) dla pewnych liczb \(\displaystyle{ a,b,c,d}\). Wykonaj odpowiednie mnożenia i rozwiąż otrzymane układy równań.

[fon_nojman]

a) Można uprościć
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right] \cdot A=A \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right] \Leftrightarrow \left(\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&0\end{array}\right]+I\right) \cdot A=A \cdot \left(\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&0\end{array}\right]+I\right) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&0\end{array}\right] \cdot A=A \cdot \left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&0\end{array}\right].}\)

[Max1414]

@fon_nojman: nie bardzo rozumiem, ale dzięki za zainteresowanie xD

Co do postu Łukasza: skąd wiadomo, że jest 2x2?

[lukasz1804]

Po pierwsze macierze muszą być kwadratowe, w przeciwnym razie nie wykonalne jest mnożenie z jednej i drugiej strony przez macierz kwadratową (tak jak w a)), względnie nie ma sensu mnożenie macierzy przez samą siebie (jak w b)).
Wymiar macierzy wynika natomiast z ilości kolumn i wierszy macierzy, przez które mnożymy.

[fon_nojman]

Jeszcze jedno niezrozumiałe uproszczenie.

b) \(\displaystyle{ det A=0}\) czyli wystarczy rozważać macierze \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ ca& cb \end{array}\right],\ a,b,c\in \mathbb{R}.}\)

[Max1414]

Prosiłbym o sprawdzenie mojego rozwiązania:

a)
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]\right = \left[\begin{array}{ccc}a+c&b+d\\2a+c&2b+d\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]\right \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}a+2b&a+b\\c+2d&c+d\end{array}\right]}\)

Teraz wystarczy porównać na poszczególnych współrzędnych wartości?

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=a+2b \\ b+d = a+b \\ 2a+c = c+2d \\ 2b+d = c+d \end{cases}}\)

a z tego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} c = 2b \\ d = a \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\2b&a\end{array}\right]\right}\)


W b) mi wyszło
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}0&0\\c&0\end{array}\right]\right \\ lub \\ A= \left[\begin{array}{ccc}0&b\\0&0\end{array}\right]\right \\ b,c-dowolne}\)

Dobrze?

[xiikzodz]

Tak.