Zad.1
Uzasadnij, że jeśli wektory \(\displaystyle{ u,w \in \mathbb{R}^n}\) są niewspółliniowe, to prosta zadana równaniem \(\displaystyle{ v+tw : t \in \mathbb{R}}\) nie jest podprzestrzenią wektorową w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).
Zad.2
Przestrzenie wektorowe \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\) w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\) mają taką własność, że każdy wektor\(\displaystyle{ v \in V}\) przedstawia się jako suma \(\displaystyle{ v = w_1 + w_2}\) dla pewnych wektorów \(\displaystyle{ w_1 \in W_1}\) oraz \(\displaystyle{ w_2 \in W_2}\).
Udowodnij, że \(\displaystyle{ dimV \le dimW_1 + dimW_2}\).
Zad.3
Podprzestrzenie \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\) w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ U}\) mają odpowiednio bazy \(\displaystyle{ v_1,...,v_k}\) oraz \(\displaystyle{ w_1,...,w_m}\) . Uzasadnij, że jeśli przekrój \(\displaystyle{ V \cap W}\) składa się tylko z wektora zerowego, to
a) układ \(\displaystyle{ v_1,...,v_k,w_1,...,w_m}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ U}\) jest liniowo niezależny;
b) \(\displaystyle{ dimV+dimW \le dimU}\)