Oszacowanie normy macierzowej.

[calka_oznaczona]

Należy znaleźć stałe \(\displaystyle{ C_{1}}\) i \(\displaystyle{ C_{2}}\) tak żeby oszacowanie normy \(\displaystyle{ ||A||_{ \infty }}\) było jak najlepsze.

\(\displaystyle{ C_{1}||A||_{1} \le ||A||_{ \infty } \le C_{2}||A||_{1}}\)

Proszę o pomoc.

[fon_nojman]

To są normy operatorowe czy po współrzędnych?

[calka_oznaczona]

Definicją normy tutaj jest:

\(\displaystyle{ ||A|| = \sup_{\||x|| \le 1}||Ax||}\)

Czyli w szczególności:
\(\displaystyle{ ||A||_{ \infty } = \max_{\i} \sum_{j}^{}| a_{ij} |}\)
czyli największa możliwa suma elementów po wierszach macierzy A

\(\displaystyle{ ||A||_{1} = \max_{\j} \sum_{i}^{}| a_{ij} |}\)
czyli największa możliwa suma elementów po kolumnach macierzy A

Dalej nie potrafię zrobić tego zadania i bardzo proszę o pomoc.

[fon_nojman]

Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ ||A||_{ \infty } = \max_{i} \sum_{j}| a_{ij} |, ||A||_{1} = \max_{j} \sum_{i}| a_{ij} |}\) nie jest szczególnym przypadkiem \(\displaystyle{ ||A|| = \sup_{||x|| \le 1}||Ax||.}\)