Postać kanoniczna Jordana.

[tometomek91]

Przekształcenie liniowe dane jest wzorem \(\displaystyle{ \varphi (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(x_1,x_1+x_2,-x_1,x_4+x_5,-x_1-x_4-x_5,x_6)}\). Znaleźć bazę kanoniczną Jordana i macierz Jordana.

C - baza kanoniczna w \(\displaystyle{ R^6}\).
\(\displaystyle{ M_C (\varphi)=\begin{bmatrix} 1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&1&0\\-1&0&0&-1&-1&0\\0&0&0&0&0&1 \end{bmatrix}}\)
wielomian char.:
\(\displaystyle{ w(\lambda)=\begin{vmatrix} 1-\lambda&0&0&0&0&0\\1&1-\lambda&0&0&0&0\\-1&0&-\lambda&0&0&0\\0&0&0&1-\lambda&1&0\\-1&0&0&-1&-1-\lambda&0\\0&0&0&0&0&1-\lambda \end{vmatrix}=-\lambda^3(1-\lambda)^3}\)
więc \(\displaystyle{ Spec( \varphi)=\{0,1\}}\)
1) Jeżeli tak jak tutaj, mamy dwa pierwiastki potrójne, to wyznaczam podprzestrzenie odpowiednio pierwszego i drugiego pierwiastka ile razy? Tak długo, aż z każda nie dojadę do \(\displaystyle{ R^3}\) czy do \(\displaystyle{ R^6}\), a może wyznaczam tylko 3 podprzestrzenie bez względu na ich bazę?
Wtedy wychodzi
\(\displaystyle{ V_0^{(1)}=lin \{ (0,0,1,0,0,0),(0,0,0,1,-1,0) \}\\
V_0^{(2)}=lin \{ (0,0,1,0,0,0),(0,0,0,1,0,0),(0,0,0,0,1,0) \}\\
V_0^{(3)}=V_0^{(2)}}\)
2) Tutaj zaczyna się już powtarzać od 2-ej podprzestrzeni, jak w takim rzie uzupełnić do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ V_0^{(3)}}\) względem \(\displaystyle{ V_0^{(2)}}\)?
Teraz drugi pierwiastek równani char.:
\(\displaystyle{ V_1^{(1)}=lin \{ (0,1,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,1) \}\\
V_1^{(2)}=lin \{ (1,0,-1,-1,0,0),(0,1,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,1) \}\\
V_1^{(3)}=V_1^{(2)}}\)
Znowu się powtarza, jak teraz uzupełnić tymi wektorami?

[norwimaj]

1) Jeżeli tak jak tutaj, mamy dwa pierwiastki potrójne, to wyznaczam podprzestrzenie odpowiednio pierwszego i drugiego pierwiastka ile razy? Tak długo, aż z każda nie dojadę do \(\displaystyle{ R^3}\) czy do \(\displaystyle{ R^6}\), a może wyznaczam tylko 3 podprzestrzenie bez względu na ich bazę?

Do \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\).

Ja to bym inaczej robił. W macierzy od razu widać jedną kolumnę zerową oraz dwie takie same kolumny. Widać więc że wymiar jądra to co najmniej \(\displaystyle{ 2}\), czyli \(\displaystyle{ 0}\) jest wartością własną. Spójrzmy na wektory w kolumnach macierzy:
\(\displaystyle{ \alpha_1=(1,1,-1,0,-1,0)}\),
\(\displaystyle{ \alpha_2=(0,1,0,0,0,0)}\),
\(\displaystyle{ \alpha_3=(0,0,0,1,-1,0)}\),
\(\displaystyle{ \alpha_4=(0,0,0,0,0,1)}\).

Są liniowo niezależne, więc stanowią bazę obrazu przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\).

Teraz patrzymy na przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi}\) obcięte do tego obrazu. Jego macierz w bazie \(\displaystyle{ (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)}\), to

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\1&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\end{array}\right]}\).

Teraz wywołujemy rekurencję, czyli znajdujemy bazę Jordana dla tej macierzy.
Bazą obrazu jest \(\displaystyle{ \beta_1=(1,1,-1,0),\;\beta_2=(0,1,0,0),\;\beta_3=(0,0,0,1)}\). Została ona znaleziona, tak jak poprzednio, przez wybranie maksymalnego zbioru liniowo niezależnego z kolumn macierzy. Przekształcenie w tej bazie to

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\).

Tym razem dostaliśmy macierz nieosobliwą, więc szukamy innej wartości własnej. Widać że będzie to \(\displaystyle{ 1}\). Odejmujemy więc \(\displaystyle{ 1}\) od przekątnej i robimy to samo co poprzednio.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}\right]}\).

Bazą obrazu jest wektor \(\displaystyle{ \gamma_1=(0,1,0)}\).

Teraz znajdujemy bazę Jordana w tym obrazie. Jest to oczywiście jedyny wektor z bazy.
\(\displaystyle{ (0,1,0)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\).

Teraz do otrzymanego "strumienia" chcemy dopisać wektor, który w przekształceniu \(\displaystyle{ \varphi-I}\) przechodzi na \(\displaystyle{ (0,1,0)}\). Jest to \(\displaystyle{ (1,0,0)}\), bo tamten wektor stał w pierwszej kolumnie. Otrzymaną bazę uzupełniamy do jądra, najprościej wektorem \(\displaystyle{ (0,0,1)}\). Mamy więc już dwa strumienie:
\(\displaystyle{ (1,0,0)\overset{\varphi-I}\mapsto(0,1,0)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\),
\(\displaystyle{ (0,0,1)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\).

Teraz zapisujemy to w bazie \(\displaystyle{ \beta}\) i uzupełniamy o wektor z jądra macierzy \(\displaystyle{ 4\times4}\).

\(\displaystyle{ (1,1,-1,0)\overset{\varphi-I}\mapsto(0,1,0,0)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\),
\(\displaystyle{ (0,0,0,1)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\),
\(\displaystyle{ (0,0,1,0)\overset{\varphi}\mapsto 0}\).

Następnie zapisujemy to w bazie \(\displaystyle{ \alpha}\), do strumienia odpowiadającego wartości własnej \(\displaystyle{ 0}\) dopisujemy jeden wektor, i jeszcze dodajemy jeden strumień, bo jądro było wymiaru \(\displaystyle{ 2}\) a na razie dopisaliśmy jeden wektor.


\(\displaystyle{ (1,2,-1,-1,0,0)\overset{\varphi-I}\mapsto(0,1,0,0,0,0)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\),
\(\displaystyle{ (0,0,0,0,0,1)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\),
\(\displaystyle{ (0,0,0,1,0,0)\overset{\varphi}\mapsto(0,0,0,1,-1,0)\overset{\varphi}\mapsto 0}\),
\(\displaystyle{ (0,0,1,0,0,0)\overset{\varphi}\mapsto0}\).

W ten sposób mamy całą bazę Jordana. Chyba mało kto to znajduje w ten sposób, ale mi się ta metoda podoba, bo jeśli się zgadnie jakąś wartość własną, to nie trzeba liczyć wielomianu charakterystycznego całej macierzy, tylko można skupić się na zadaniu dla mniejszej macierzy.

[tometomek91]

Faktycznie dobra metoda, muszę ją opanować. Czy jest ona opisana w jakieś przystępnej książce (mam na mysli coś w typie Kostrikina)?
Mam jeszcze kila pytań:

Teraz do otrzymanego "strumienia" chcemy dopisać wektor, który w przekształceniu \(\displaystyle{ \varphi-I}\) przechodzi na \(\displaystyle{ (0,1,0)}\). Jest to \(\displaystyle{ (1,0,0)}\), bo tamten wektor stał w pierwszej kolumnie. Otrzymaną bazę uzupełniamy do jądra, najprościej wektorem \(\displaystyle{ (0,0,1)}\). Mamy więc już dwa strumienie:
\(\displaystyle{ (1,0,0)\overset{\varphi-I}\mapsto(0,1,0)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\),
\(\displaystyle{ (0,0,1)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\).

Nie wiem do jądra jakiego przekształcenia. Czy tego powiązanego z macierzą \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)?

I jeszcze odnośnie mojej metody: jeżeli zaczynają się nam powtarzać podprzestrzenie jak tu \(\displaystyle{ V_0^{(3)}=V_0^{(2)}}\), to w jaki sposób "dołożyć" jakikolwiek wektor do bazy \(\displaystyle{ V_0^{(2)}}\) żeby uzyskać bazę \(\displaystyle{ V_0^{(3)}}\) skoro są one takie same? Tek krok polegający na dołożeniu jakiegoś wektora jest niezbędny, bo następnym jest znalezienie jego obrazu i uzupełnienie do podprzestrzeni \(\displaystyle{ V_0^{(1)}}\) itd.

Dzięki.

[norwimaj]

Czy jest ona opisana w jakieś przystępnej książce (mam na mysli coś w typie Kostrikina)?

Nie wiem. Ja tę metodę wymyśliłem na podstawie dowodu tw. Jordana, który widziałem na zajęciach. Rzeczywiście przydałby się jej dokładny opis. W tym przykładzie było dość prosto, ale nie wyjaśniłem, co robić gdy nie natychmiast widać bazę obrazu. Wtedy podczas wybierania maksymalnego podzbioru liniowo niezależnego kolumn dobrze jest od razu każdą inną kolumnę zapisać jako kombinację liniową tych wybranych. Wtedy łatwiej jest zapisać macierz przekształcenia w tej bazie.

Jeżeli \(\displaystyle{ \beta}\) jest bazą Jordana dla tej macierzy, to czy \(\displaystyle{ \alpha}\) jest bazą Jordana dla macierzy \(\displaystyle{ M_C(\varphi)}\)?

Nie wiem. Nie zastanawiałem się nad tym.

Teraz do otrzymanego "strumienia" chcemy dopisać wektor, który w przekształceniu \(\displaystyle{ \varphi-I}\) przechodzi na \(\displaystyle{ (0,1,0)}\). Jest to \(\displaystyle{ (1,0,0)}\), bo tamten wektor stał w pierwszej kolumnie. Otrzymaną bazę uzupełniamy do jądra, najprościej wektorem \(\displaystyle{ (0,0,1)}\). Mamy więc już dwa strumienie:
\(\displaystyle{ (1,0,0)\overset{\varphi-I}\mapsto(0,1,0)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\),
\(\displaystyle{ (0,0,1)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\).

Nie wiem do jądra jakiego przekształcenia. Czy tego powiązanego z macierzą \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)?

Nie. Do tej z odjętą jedynką od przekątnej. Ta ma trywialne jądro.

I jeszcze odnośnie mojej metody: jeżeli zaczynają się nam powtarzać podprzestrzenie jak tu \(\displaystyle{ V_0^{(3)}=V_0^{(2)}}\), to w jaki sposób "dołożyć" jakikolwiek wektor do bazy \(\displaystyle{ V_0^{(2)}}\) żeby uzyskać bazę \(\displaystyle{ V_0^{(3)}}\) skoro są one takie same? Tek krok polegający na dołożeniu jakiegoś wektora jest niezbędny, bo następnym jest znalezienie jego obrazu i uzupełnienie do podprzestrzeni \(\displaystyle{ V_0^{(1)}}\) itd.

Te przestrzenie już bardziej nie urosną. Jeśli raz jądro się nie zmniejszy, to już nigdy się nie zmniejszy.

Podzieliłeś \(\displaystyle{ \mathbb{R}^6}\) na przestrzenie własne \(\displaystyle{ V_0^{(2)}}\) i \(\displaystyle{ V_1^{(2)}}\). Teraz w każdej z tych podprzestrzeni musisz znaleźć bazę Jordana. W pierwszej z nich w tym celu znajdujesz taką przestrzeń \(\displaystyle{ A_1}\), że
\(\displaystyle{ V_0^{(2)}=A_1\oplus V_0^{(1)}}\).

Na przykład \(\displaystyle{ A_1=lin\{(0,0,0,0,1,0)\}}\). Następnie znajdujemy takie \(\displaystyle{ A_2}\), że
\(\displaystyle{ V_0^{(1)}=\varphi(A_1)\oplus A_2 \oplus V_0^{(0)}}\),

czyli najprościej \(\displaystyle{ A_2=lin\{(0,0,1,0,0,0)\}}\).

Bazą Jordana jest \(\displaystyle{ (0,0,0,0,1,0),\; \varphi(0,0,0,0,1,0)=(0,0,0,1,-1,0),\; (0,0,1,0,0,0)}\).

To znaczy bierzemy bazy kolejnych przestrzeni \(\displaystyle{ A}\) i wszystkie niezerowe obrazy (obrazy obrazów itd.) wektorów z tych baz.

Podobnie można zrobić dla drugiej przestrzeni własnej, tylko zamiast \(\displaystyle{ \varphi}\) mamy \(\displaystyle{ \varphi-I}\).

[tometomek91]

OK. dzięki bardzo
nie wiem jeszcze co oznacza \(\displaystyle{ V_0^{(0)}}\)? ja zawsze konczyłem znajdowanie na \(\displaystyle{ V_0^{(1)}}\)..

[maniek96m]

Podobnie można zrobić dla drugiej przestrzeni własnej, tylko zamiast \(\displaystyle{ \varphi}\) mamy \(\displaystyle{ \varphi-I}\).

Uzupełniam \(\displaystyle{ V_1^{(1)}}\) do \(\displaystyle{ V_1^{(2)}}\) wektorem \(\displaystyle{ (1,0,-1,-1,0,0)}\), teraz obraz tego wektora: \(\displaystyle{ \varphi((1,0,-1,-1,0,0))=(1,1,-1,-1,0,0)}\) i jak mam uzupełnić ten wektor, żeby dostać \(\displaystyle{ V_1^{(1)}=lin \{ (0,1,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,1) \}}\)

[norwimaj]

teraz obraz tego wektora: \(\displaystyle{ \varphi((1,0,-1,-1,0,0))=(1,1,-1,-1,0,0)}\)

Zamiast tego weź obraz wektora w przekształceniu \(\displaystyle{ \varphi-\lambda I=\varphi-I}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) to identyczność. W tym wcześniejszym przypadku było \(\displaystyle{ \lambda=0}\).

[tometomek91]

Mam jeszcze pytanie:

Teraz zapisujemy to w bazie \(\displaystyle{ \beta}\) i uzupełniamy o wektor z jądra macierzy \(\displaystyle{ 4\times4}\).

\(\displaystyle{ (1,1,-1,0)\overset{\varphi-I}\mapsto(0,1,0,0)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\),
\(\displaystyle{ (0,0,0,1)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\),
\(\displaystyle{ (0,0,1,0)\overset{\varphi}\mapsto 0}\).

Czy tam, w pierwszej linijce, nie powinno być
\(\displaystyle{ (1,0,-1,0)\overset{\varphi-I}\mapsto(0,1,0,0)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\)?
Jak w ogólne wziąć te wektory o 4 współrzędnych?

Nie, jednak nie. Ale jest kolejne pytanie: co gdyby ostatnia macierz (ta od \(\displaystyle{ \gamma}\)) okazała się byc zerowa?

[norwimaj]

Czy tam, w pierwszej linijce, nie powinno być
\(\displaystyle{ (1,0,-1,0)\overset{\varphi-I}\mapsto(0,1,0,0)\overset{\varphi-I}\mapsto 0}\)?

Obie wersje są dobre.

Nie, jednak nie. Ale jest kolejne pytanie: co gdyby ostatnia macierz (ta od \(\displaystyle{ \gamma}\)) okazała się byc zerowa?

Bazą Jordana macierzy zerowej jest dowolna baza.

[tometomek91]

Ok, dzięki. Mówię Ci, norwimaj, opatentuj ten Twój sposób, zrobi furroę