Sprawdzenie czy układ wektorów jest bazą

[Max1414]

Witam!

Jak sprawdzić czy układ wektorów: \(\displaystyle{ (1,0,1,0), (-1,2,0,1), (0,0,1,1)}\) jest bazą?

Sprawdzam czy są liniowo niezależne - wychodzi, że tak i co dalej?
Trzeba chyba pokazać, że \(\displaystyle{ \text{lin}\,\bigl((1,0,1,0), (-1,2,0,1), (0,0,1,1)\bigr)=}\) całej przestrzeni, czyli:

\(\displaystyle{ (x,y,z,w) = (\alpha,0,\alpha,0) + (-\beta,2\beta,0,\beta) + (0,0,\gamma,\gamma)}\)

Otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ x = \alpha-\beta \\
y = 2\beta \\
z = \alpha + \gamma \\
w = \beta + \gamma}\)

Z tego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \alpha = x + 0.5y \\
\beta = 0.5y \\
\gamma = z - x - 0.5y}\)

Czy to jest dobrze?

[szw1710]

Zależy, czego to ma być baza. Przecież 3 wektory 4-wymiarowe nie wygenerują całej przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\), a co najwyżej trójwymiarową podprzestrzeń. Jeśli są liniowo niezależne, to jest tak w istocie. Więc te wektory są bazą tej podprzestrzeni i niczego nie musisz liczyć.

[Max1414]

Ogólnie treść zadania brzmi:

Czy układ wektorów \(\displaystyle{ (1,0,1,0), (-1,2,0,1), (0,2,1,1), (0,0,1,1)}\) jest liniowo niezależny?
Jaki jest wymiar przestrzeni rozpinanej przez te wektory?

No i potrzebuję tego do obliczenia wymiaru przestrzeni. Czy to, że wskazana trójka w poście wyżej jest liniowo niezależna od razu oznacza, że są one bazą?

[szw1710]

Te 4 wektory? W żadnym wypadku. Sprawdź rząd macierzy złożonej z tych 4 wektorów. Czyli oblicz wyznacznik. W zależności czy macierz jest osobliwa czy nie, wektory tworzą bazę lub jej nie tworzą.

Ewentualnie możesz sprawdzić czy ten czwarty wektor nie przedstawia się czasem jako kombinacja liniowa pozostałych. Wtedy te wektory są bazą czy nie są?

[Max1414]

Niestety nie miałem jeszcze macierzy na studiach. Trzeci jest liniową kombinacją pierwszych dwóch, dlatego w wyższych postach rozpatrywałem tylko trzy.

[szw1710]

No to jeśli jeden z wektorów jest kombinacją pozostałych, czy wszystkie te wektory tworzą bazę? Czy są liniowo niezależne? Jaka jest definicja bazy przestrzeni liniowej? Chodzi mi o taką z dwoma warunkami.

[Max1414]

Wiem, że na pierwsze pytanie z treści zadania odpowiedź jest nie, ale nie wiem jak zrobić drugie, tzn. nie bardzo rozumiem skąd wynika, że jeżeli 1,2 i 4 wektor są liniowo niezależne to są bazą. Ja jeszcze w skrypcie mam warunek \(\displaystyle{ \text{lin}(B) = V}\), gdzie B w tym przypadku to układ trzech wektorów \(\displaystyle{ (1,0,1,0), (-1,2,0,1), (0,0,1,1)}\) i stąd moje pytanie z pierwszego posta, czy taki dowodzik wystarcza, aby pokazać, że są bazą.

[szw1710]

Te trzy wektory są bazę tej właśnie podprzestrzeni, jeśli są liniowo niezależne.

[Max1414]

Heh, ale pytam skąd to się bierze, przeczytaj jeszcze raz mój pierwszy i ostatni post (nie licząc tego).

[szw1710]

A ja odpowiadam, że liniowo niezależny układ wektorów jest bazą przestrzeni przez niego generowanej, gdyż baza przestrzeni liniowej jest zbiorem wektorów liniowo-niezależnych oraz tę rozpinających przestrzeń. Dlatego pisałem o definicji bazy z dwoma warunkami, którą teraz przytoczyłem in extenso.

PS. Kolego, nie pouczaj mnie, co mam czytać.