Sfera styczna do płaszczyzny

[MakCis]

Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) sfera \(\displaystyle{ x^2 + y^2+z^2 - 2az=0}\)jest styczna do płaszczyzny\(\displaystyle{ z- 2 = 0}\)?

Czy jedyna poprawna odpowiedź to a=3?

[marcinz]

W przypadku sfery styczność można zdefiniować w następujący sposób: Płaszczyzna jest styczna do sfery o ile ma z nią jeden punkt wspólny. Dla \(\displaystyle{ a=3}\) na wskazanej płaszczyźnie i sferze leżą punkty \(\displaystyle{ (2,2,2),(2,-2,2)}\), więc to nie jest płaszczyzna styczna.

[MakCis]

Jak zatem poprawnie rozwiązać to zadanie?

[marcinz]

Sprawdź kiedy układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 + y^2+z^2 - 2az=0\\z- 2 = 0\end{cases}}\)
ma dokładnie jedno rozwiązanie.

[MakCis]

Dochodzę do tego, że \(\displaystyle{ x^2+y^2 = 4a-4}\). To ma rozwiązanie gdy \(\displaystyle{ 4a-4 \ge 0}\)czyli \(\displaystyle{ a \ge 1}\).

[marcinz]

No właśnie. Zauważ jeszcze tylko, że gdy \(\displaystyle{ a>1}\), to tych rozwiązań jest nieskończenie wiele czyli nie dostaniesz płaszczyzny stycznej. Dla\(\displaystyle{ a=1}\) jest dokładnie jedno rozwiązanie.