eksponenta macierzy, ODE

[Jacek_fizyk]

czy ktos moze sprawdzic moje rozwiazanie?

Majac macierz \(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 6&3&-2\\-4&-1&2\\13&9&-3\end{pmatrix}}\)
a) oblicz \(\displaystyle{ e^{tA}}\)
b) znajdz rozwiazanie \(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=Ax}\)
c) znajdz rozwiazanie dla warunkow poczatkowych \(\displaystyle{ x(0)=\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}}\)
diagonalizacja daje \(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\)

\(\displaystyle{ P=\quad &
\begin{pmatrix}
1&-1&1/2\\
-1&2&-1/2\\
1&1&1
\end{pmatrix} \qquad&
D=\quad &
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&2&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}}\)


a) mamy \(\displaystyle{ e^{tA}=Pe^{tD}P^{-1}}\)


czyli\(\displaystyle{ e^{tA}=\begin{pmatrix} 5e^{t}-e^{2t}-3e^{-t}&3e^{t}-e^{2t}-2e^{-t}&-e^{t}+e^{-t}\\
-5e^{t}+2e^{2t}+3e^{-t}&-3e^{t}+2e^{2t}+2e^{-t}&e^{t}-e^{-t}\\
5e^{t}+e^{2t}-6e^{-t}&3e^{t}+e^{2t}-4e^{-t}&-e^{t}+2e^{-t}\end{pmatrix}}\)



b)


\(\displaystyle{ x(t)=e^{tA}=\begin{pmatrix}C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\end{pmatrix}$\\
gdzie C_{1},C_{2},C_{3}}\) sa stalymi

c) pod uwzglednieniu warunkow poczatkowych mamy

\(\displaystyle{ x(t)= e^{tA}\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -11e^{t}+e^{2t}+8e^{-t}\\11e^{t}-2e^{2t}-8e^{-t}\\-11e^{t}-e^{2t}+16e^{-t}\end{pmatrix}}\)


czy to jest dobrze? czy jest jakis program on-line ktory moglby to sprawdzic?