przestrzeń wektorowa

[kalik]

Dana jest przestrzeń wektorowa \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4}(\mathbb{R})}\) o bazie kanonicznej \(\displaystyle{ (e_{1},e_{2},e_{3},e_{4})}\) oraz jej endomorfizm \(\displaystyle{ f}\) zadany warunkami
\(\displaystyle{ f(e_{1})=e_{1}-e_{2}+e_{3}-e_{4}}\) , \(\displaystyle{ f(e_{2})=2e_{1}-3e_{3}}\) , \(\displaystyle{ f(e_{3})=3e_{2}-e_{3}+e_{4}}\) , \(\displaystyle{ f(e_{4})=0}\)
Wyznaczyć:
(i) \(\displaystyle{ f((3,-2,5,0))}\)
(ii) \(\displaystyle{ f((x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}))}\)
(iii) bazę podprzestrzeni ker f i podprzestrzeni Im f

[sirduke]

trzeba zapisać najpierw macierz odwzorowania, potem skorzystać ze związku y=Ax (przemnożyć macierz odwzorowania i wektor - otrzyma się wartość odwzorowania na tym wektorze). Bazę jądra otrzymuje się rozwiązując układ równań (najłatwiej metodą Gaussa) Ax=0, bazę obrazu badając liniową niezależność wektorów.