znajdź przekształcenie liniowe
-
kalik
znajdź przekształcenie liniowe
Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \varphi:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}}\) dane jest przez macierz \(\displaystyle{ M_{BC}(\varphi )=\begin{bmatrix} -7&-8 \\ 3&5 \end{bmatrix}}\) gdzie \(\displaystyle{ B=([5,1],[11,2])}\) i \(\displaystyle{ C=([1,1],[4,3])}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \varphi ([x_{1},x_{2}])}\)
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
znajdź przekształcenie liniowe
Mamy:
\(\displaystyle{ \varphi([5,1])=-7[1,1]+3[4,3]\\
\varphi([11,2])=-8[1,1]+5[4,3]}\)
A ponieważ B jest bazą w \(\displaystyle{ R^2}\) i korzystając z liniowości \(\displaystyle{ \varphi}\) mamy:
\(\displaystyle{ \varphi(v)=\alpha[5,2]+\beta[12,7]}\)
gdzie \(\displaystyle{ v=[x,y]=\alpha[5,1]+\beta[11,2]}\)
wyznaczamy z powyższego \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) i mamy, że
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{1}{2}(x-5y)\\
\beta=6y-x}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \varphi([x,y])=\frac{1}{2}(x-5y)[5,2]+(6y-x)[12,7]=[-9.5x+59.5y;-6x+37y]}\)
Sprawdź jeszcze same obliczenia
\(\displaystyle{ \varphi([5,1])=-7[1,1]+3[4,3]\\
\varphi([11,2])=-8[1,1]+5[4,3]}\)
A ponieważ B jest bazą w \(\displaystyle{ R^2}\) i korzystając z liniowości \(\displaystyle{ \varphi}\) mamy:
\(\displaystyle{ \varphi(v)=\alpha[5,2]+\beta[12,7]}\)
gdzie \(\displaystyle{ v=[x,y]=\alpha[5,1]+\beta[11,2]}\)
wyznaczamy z powyższego \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) i mamy, że
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{1}{2}(x-5y)\\
\beta=6y-x}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \varphi([x,y])=\frac{1}{2}(x-5y)[5,2]+(6y-x)[12,7]=[-9.5x+59.5y;-6x+37y]}\)
Sprawdź jeszcze same obliczenia