Proszę o pomoc w zadaniu:
Mamy przestrzeń wektorową złożoną z n-elementowych kolumn liczbowych. Proszę pokazać, żę jest to przestrzeń n-wymiarowa.
Przestrzeń n-wymiarowa
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 1 sty 2011, o 15:20
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 3 razy
Przestrzeń n-wymiarowa
Standard. Bazą są wektory
\(\displaystyle{ e_1=\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix},\;e_2=\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix},\;\dots,\;e_n=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix}}\)
Liniowa niezależność wynika z tego, że razem te wektory tworzą macierz jednostkową, której rząd wynosi \(\displaystyle{ n}\), a rząd macierzy to liczba jej liniowo niezależnych kolumn. Generowanie: wystarczy zauważyć, że dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ \mathbf{v}}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{v}=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}=v_1e_1+v_2e_2+\dots+v_ne_n.}\)
\(\displaystyle{ e_1=\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix},\;e_2=\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix},\;\dots,\;e_n=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix}}\)
Liniowa niezależność wynika z tego, że razem te wektory tworzą macierz jednostkową, której rząd wynosi \(\displaystyle{ n}\), a rząd macierzy to liczba jej liniowo niezależnych kolumn. Generowanie: wystarczy zauważyć, że dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ \mathbf{v}}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{v}=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}=v_1e_1+v_2e_2+\dots+v_ne_n.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 1 sty 2011, o 15:20
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 3 razy