czy działanie jest grupą

[madziula1784]

Niech G będzie zbiorem macierzy 2x2 o współczynnikach rzeczywistych i wyznaczniku równym 1. Czy G z działaniem mnożenia macierzy jest grupą?

[norwimaj]

• Iloczyn dwóch macierzy \(\displaystyle{ 2\times2}\) o współczynnikach rzeczywistych i wyznaczniku równym \(\displaystyle{ 1}\) też jest macierzą \(\displaystyle{ 2\times2}\) o współczynnikach rzeczywistych i wyznaczniku równym \(\displaystyle{ 1}\).
• Istnieje macierz \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right)\in G}\), która jest elementem neutralnym dla mnożenia w \(\displaystyle{ G}\).
• Mnożenie macierzy jest łączne.
• Dla każdej macierzy \(\displaystyle{ A\in G}\) istnieje macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\). Macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\) jest rozmiaru \(\displaystyle{ 2\times2}\), ma współczynniki rzeczywiste, i wyznacznik równy \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ A^{-1}\in G}\).

Mądrości tu zbyt wiele nie ma, tylko lanie wody.