Rozwiązanie układu równań metodą macierzową

OpBlitz · Post autor: **OpBlitz** » 2 sty 2007, o 19:23

Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić mozliwie jak najdokładniej w jaki sposób rozwiązuje się tego typu zadania? Wogóle sobie z tym nie radze a termin zaliczenia zbliża się nieuchronnie męczę się z poniższym przykładem od paru godzin i nic nie wychodzi, nie wiem w którym momencie robię błąd. Będę wdzięczny za wszelką pomoc, z góry dziękuję.

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x_{2}+x_{3}=-4\\-x_{1}-x_{2}+x_{3}=8\\-x_{1}-x_{2}-x_{3}=-6\end{array}}\)

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 2 sty 2007, o 19:43

Metodą podstawiania masz:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x_{2}=-4-x_{3}\\-x_{1}-(-4-x_{3})+x_{3}=8\\-x_{1}-(-4-x_{3})-x_{3}=-6\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x_{2}=-4-x_{3}\\-x_{1}+4+x_{3}+x_{3}=8\\-x_{1}+4+x_{3}-x_{3}=-6\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x_{2}=-4-x_{3}\\-x_{1}+2x_{3}=4\\x_{1}=10\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x_{3}=7\\x_{1}=10\\x_{2}=-11\end{array}}\)

OpBlitz · Post autor: **OpBlitz** » 2 sty 2007, o 19:59

Dziękuję bardzo tak, rzeczywiście metodą podstawiania mam... niestety muszę to rozwiązać metodą macierzową ??: podstawianiem byłoby za prosto chciałbym zeby ktoś mi to pokazał na macierzach

robert179 · Post autor: **robert179** » 2 sty 2007, o 20:39

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}0\cdot x_{1}+x_{2}+x_{3}=-4\\-x_{1}-x_{2}+x_{3}=8\\-x_{1}-x_{2}-x_{3}=-6\end{array}}\)

Tworzysz macierz z liczb, które znajdują się przy niewiadomych.
W tym przypadku:
A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&1\\-1&-1&1\\-1&-1&-1\end{array}\right]}\)
Liczysz detA.

Następnie musisz policzyć wyznaczniki macierzy utworzonych przez zastępowanie poszczególnych kolumn liczbami, które znajdują za znakiem równości.

\(\displaystyle{ A_{1}=\left[\begin{array}{ccc}-4&1&1\\8&-1&1\\-6&-1&-1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ A_{2}=\left[\begin{array}{ccc}0&-4&1\\-1&8&1\\-1&-6&-1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ A_{3}=\left[\begin{array}{ccc}0&1&-4\\-1&-1&8\\-1&-1&-6\end{array}\right]}\)

Teraz tylko podstawiasz do wzorów:
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{detA_{1}}{detA}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{detA_{2}}{detA}}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=\frac{detA_{3}}{detA}}\)

OpBlitz · Post autor: **OpBlitz** » 2 sty 2007, o 21:14

Dziękuję Panie Robercie!

borus87 · Post autor: **borus87** » 6 sty 2007, o 16:21

Może ja się nie znam, ale korzystając z metody Sarrusa ni jak nie wychodzi mi inaczej jak detA=0
I co teraz? Bo mnie też to ciekawi. Czy jeśli detA=0 to nie da się tego rozwiązać tą metodą? Z góry dzięki za odpowiedź!

matteuszek · Post autor: **matteuszek** » 11 sty 2007, o 02:17

jak det A jest 0 to trzeba sprawdzić r(A|B) i r(A) układ może miećrozwiązaniawzależnosciod parametrów lub nie mieć żadnych:) Co do tego nie jestem pewien ale chyba tak jesz tego co sobie przypominam.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 13 lis 2008, o 10:31

Najlepiej wziąc macierz główną układu i odwrócic ją metodą eliminacji Gaussa lub metodą rozkładu LU następnie pomnozyc ją przez macierz (kolumnę) wyrazów wolnych

Odwracanie macierzy metodą eliminacji Gaussa
[A|I]->[I|A^-1]

A- macierz główna układu
I- macierz jednostkowa
A^-1- macierz odwrotna do macierzy głównej układu

Można mnożyc wiersz przez skalar różny od zera
Można dodac wiersz do innego wiersza
Można zamieniac wiersze

Gdy któryś z wierszy jest zerowy bądź jest kombinacją liniową innych wierszy
wyznacznik główny jest zerowy i macierz odwrotna nie istnieje

Liczymy wtedy rzędy macierzy głównej i dołączonej
Jeżeli są równe to rożwiązanie istnieje
Wybieramy podmacierz kwadratową tego samego rzędu co macierz główna i
dołączona. Niepotrzebne równania skreślamy a nadmiar niewiadomych
przenosimy do macierzy wyrazów wolnych jako parametry
Rozwiązujemy jak układ Cramera tzn
Odwracamy wybraną podmacierz kwadratową i mnożymy przez macierz wyrazów wolnych

agulka1987 · Post autor: **agulka1987** » 13 lis 2008, o 11:50

borus87 pisze:Może ja się nie znam, ale korzystając z metody Sarrusa ni jak nie wychodzi mi inaczej jak detA=0
I co teraz? Bo mnie też to ciekawi. Czy jeśli detA=0 to nie da się tego rozwiązać tą metodą? Z góry dzięki za odpowiedź!

Mylisz się det A=-2 (przy liczeniu wyznacznika uwazaj na znaki!)

det A1 = -20, det A2 = 22, det a3 = -14

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 13 lis 2008, o 12:44

agulka1987 pisze:
borus87 pisze:Może ja się nie znam, ale korzystając z metody Sarrusa ni jak nie wychodzi mi inaczej jak detA=0
I co teraz? Bo mnie też to ciekawi. Czy jeśli detA=0 to nie da się tego rozwiązać tą metodą? Z góry dzięki za odpowiedź!
Mylisz się det A=-2 (przy liczeniu wyznacznika uwazaj na znaki!)

det A1 = -20, det A2 = 22, det a3 = -14

Zgadza się "agulka1987" ja też przy odwracaniu macierzy nie miałem problemów
tzn nie musiałem szuka podmacierzy kwadratowej .

Wyznacznik można obliczyc metodą eliminacji Gaussa
gdzie zerowanie elementów można przeprowadzic za pomocą
operacji elementarnych bądź mnożenia przez macierze ortogonalne
Przy operacjach elementarnych trzeba pamiętac ze
dodanie wiersza do innego wiersza nie zmienia wartości wyznacznika
pomnożenie wiersza przez skalar powoduje pomnożenie wartości wyznacznika przez ten skalar
Zamiana wierszy zmienia znak wyznacznika macierzy
Jeżeli wiersz jest zerowy bądź jest kombinacją liniową innych wierszy to wyznacznik jest równy zero

Zerujemy elementy macierzy dopóki nie jest ona trójkątna
Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej

Wyznacznik macierzy można także obliczyc za pomocą rozkładu LU

Szukamy takich macierzy LU aby
LU=PA

L-macierz dolnotrójkątna
U-macierz górnotrójkątna
P- macierz permutacji (permutacja wierszy macierzy jednostkowej)
A-rozkładana macierz
Wygodnie jest zapisac macierz L i macierz U do jednej macierzy
wtedy wyznacznik macierzy jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej

djjokers · Post autor: **djjokers** » 17 lut 2009, o 17:29

Mam Pytanie dotyczące wyznaczenia rozwiazania ukladu równań metodą macierzową tylko że mam inną macież i wlasnie w tym momęcie pojawia mi sie problem

\(\displaystyle{ \begin{cases}2x+6y=2 \\ 4y+z=-1\\-x+z=-2 \end{cases}}\)

jak taki układ równań rozwiązać metodą macierzową?

agulka1987 · Post autor: **agulka1987** » 17 lut 2009, o 18:09

djjokers pisze:Mam Pytanie dotyczące wyznaczenia rozwiazania ukladu równań metodą macierzową tylko że mam inną macież i wlasnie w tym momęcie pojawia mi sie problem

\(\displaystyle{ \begin{cases}2x+6y=2 \\ 4y+z=-1\\-x+z=-2 \end{cases}}\)

jak taki układ równań rozwiązać metodą macierzową?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2&6&0 \left|2\\0&4&1 \left|-1\\-1&0&1 \left|-2\end{bmatrix}}\) wiersz 1 *(1/2)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&3&0 \left|1\\0&4&1 \left|-1\\-1&0&1 \left|-2\end{bmatrix}}\) w3+w1

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&3&0 \left|1\\0&4&1 \left|-1\\0&3&1 \left|-1\end{bmatrix}}\) w1 i w3 +w2*(-3/4)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&- \frac{3}{4} \left| \frac{7}{4} \\0&4&1 \left|-1\\0&0& \frac{1}{4} \left|- \frac{1}{4} \end{bmatrix}}\) w3*4

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&- \frac{3}{4} \left| \frac{7}{4} \\0&4&1 \left|-1\\0&0&1\left|-1\end{bmatrix}}\) w1+w3*(3/4), w2+w3*(-1)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&0 \left| 1\\0&4&0 \left|0\\0&0&1\left|-1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y=0 \\ z=-1 \end{cases}}\)

zelon125 · Post autor: **zelon125** » 17 paź 2012, o 12:00

czyli żeby obliczyć równanie po prostu trzeba wyznaczyć macierz odwrotną. dobrze rozumiem??