tam gdzie jest symbol(*) muszę rozpisać jak z lewej równości otrzymać równość z prawej strony
\(\displaystyle{ H\left| x _{n} \right|=\left| a _{n} x _{n} \right|=..(*)..trzeba_rozpisac_zeby_wyszlo= \left| c- \sum_{j=1}^{n-1} a _{j} x _{j} \right| \le \left| c\right|+ \frac{(n-1)H ^{2} }{2}}\)
Zeby pokazać problem całościowo zamieszczam tw, z dowodem
twierdzenie:
Niech \(\displaystyle{ a_{1},...,a _{n}}\) oraz c będą niezerowymi liczbami całkowitymi takimi, że \(\displaystyle{ \left(a_{1},...,a _{n} \right)}\) | c. Niech \(\displaystyle{ H = max ( |a _{1} | , …, |a _{n} | )}\) , gdzie H jest wysokością równania. Wtedy równanie
,\(\displaystyle{ a_{1} x_{1} +...+a _{n} x_{n} =c}\)
ma rozwiązanie w liczbach całkowitych, które spełnia poniższy warunek
\(\displaystyle{ \left| X _{i} \right| \le \left| \frac{c}{H} \right| + \frac{(n-1)H}{2}}\)
dowód
wiemy, że
d |\(\displaystyle{ a_{1} x_{1} +...+a _{n} x_{n} =c}\) .
Zapiszmy równanie w postaci \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} a_{j} X _{j} =c}\)
Niech H =\(\displaystyle{ \left| a _{n} \right|}\) , gdzie n = 1, 2, …, k. Wówczas możemy znaleźć rozwiązanie \(\displaystyle{ X_{j}= x _{j}}\) naszego równania, spełniające nierówność
(2) \(\displaystyle{ \left| x _{i} \right| \le \frac{H}{2}}\) dla i = 1, 2, …, n − 1.
Jeżeli zaś \(\displaystyle{ b_{1},..., b_{n}}\)jest dowolnym rozwiązaniem równania (1), wtedy na mocy twierdzenia …. Istnieją liczby \(\displaystyle{ f_{1},..., f_{n-1}}\) spełniające
,\(\displaystyle{ b _{i}=f _{i}H+x _{i}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x _{1} ,..., x_{n-1}}\) spełniają (2). Załóżmy, że
\(\displaystyle{ x _{n}=b _{n} + \sum_{j=1}^{n-1}a _{j} f _{j}}\)
Zatem widzimy, że liczby \(\displaystyle{ x _{1} ,..., x_{n-1}}\) spełniają (1) oraz
\(\displaystyle{ H\left| x _{n} \right|=\left| a _{n} x _{n} \right|=..(*)..trzeba_rozpisac_zeby_wyszlo= \left| c- \sum_{j=1}^{n-1} a _{j} x _{j} \right| \le \left| c\right|+ \frac{(n-1)H ^{2} }{2}}\)
zatem\(\displaystyle{ \left| x _{n} \right|=\left| \frac{c}{H} \right|+ \frac{(n-1)H }{2}}\)
Co daje wraz z (2) żądany wynik.
Wszystkie pomysły mile widziane, jak z \(\displaystyle{ \left| a _{n} x _{n} \right|=..(*)..rozpisac_zeby_wyszlo= \left| c- \sum_{j=1}^{n-1} a _{j} x _{j} \right|}\)