Dodatnie wartości własne

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Dodatnie wartości własne

Post autor: Wasilewski »

Niech dana będzie macierz \(\displaystyle{ A\in M^{n\times n}(\mathbb{R})}\) taka, że wszystkie jej wyrazy są dodatnie. Sprawdzić, czy wówczas posiada ona dodatnią wartość własną.
marcinz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 370
Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 53 razy

Dodatnie wartości własne

Post autor: marcinz »

Tak, jest to w zasadzie treść Perrona-Frobeniusa. Jeżeli chcesz, to pokazać w jakiś sposób, to rozważ funkcję \(\displaystyle{ f\colon S\to S}\) określoną wzorem \(\displaystyle{ f(x)=\frac{Ax}{||Ax||}}\), gdzie \(\displaystyle{ S=\{x\in \mathbb{R}^n:||x||=1,\forall_{i} x_i \ge 0\}}\) i pokaż, że ma punkt stały.
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Dodatnie wartości własne

Post autor: Wasilewski »

To bardzo ładna metoda; dlatego właśnie wrzuciłem to zadanie na forum.
ODPOWIEDZ