Współrzędne wektora z sin w bazie

[maciej.woznica]

Podać współrzędne wektora \(\displaystyle{ 7sin ^{2}x}\) w bazie \(\displaystyle{ (3, cos2x)}\).

Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

[norwimaj]

Skorzystaj ze wzoru na kosinus kąta podwojonego.

[maciej.woznica]

Nadal nie umiem tego rozpisać :/. Nie wiem jak mam rozumieć to że \(\displaystyle{ 7sin ^{2} x}\) jest wektorem.

[Mathol]

Bo wektor w matematyce to nie tylko taka strzałeczka
No, bazą przestrzeni wektorowej V jest układ wektorów A, który jest liniowo niezależny oraz generuje całą przestrzeń.

Inaczej mówiąc w twoim przypadku wektor \(\displaystyle{ 7sin^2 x}\) należy do twojej przestrzeni gdy istnieją takie współczynniki kombinacji liniowej a i b, że \(\displaystyle{ 7sin^2x= a*3+b*cos2x}\). No i wtedy te twoje a i b są współrzędnymi twojego wektora.

No, więc rozpisujemy:
\(\displaystyle{ cos2x=1-2sin^2 x\\
7sin^2x= a*3+b*cos2x\\
7sin^2x= a*3+b*(1-2sin^2 x)\\
7sin^2x=3a+b-2bsin^2 x \\}\)

no to już mamy: \(\displaystyle{ -2b=7\ i \ 3a+b=0\\
a=7/6 \ i\ b = -7/2}\)
Oto twoje współrzędne (mam nadzieję, że odpowiedź jest prawidłowa )