Przestrzeń i wartość własna przekształcenia liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Przestrzeń i wartość własna przekształcenia liniowego

Post autor: MakCis »

1. Znaleźć macierz przekształcenia liniowego, takiego że płaszczyzna \(\displaystyle{ x = 2y}\) jest jej przestrzenią własną
dla wartości własnej\(\displaystyle{ 5}\)i prosta do niej prostopadła jest przestrzenią własną dla wartości własnej \(\displaystyle{ 2}\).

2. Uzasadnij, że jeśli \(\displaystyle{ T : R^3 \rightarrow R^3}\) jest przekształceniem liniowym oraz \(\displaystyle{ T (x) = 3x}\) i \(\displaystyle{ T (y) = 2y}\) dla niezerowych wektorów \(\displaystyle{ x, y,}\) to wektor \(\displaystyle{ 5x - 7y}\) nie jest wektorem własnym \(\displaystyle{ T}\) .

Zadanie 2 próbowałem robić nie wprost, ale nie mogę dojść do sprzeczności.

Dziekuje za każdą pomoc.
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Przestrzeń i wartość własna przekształcenia liniowego

Post autor: octahedron »

2. Żeby był wektorem własnym, musiałoby być
\(\displaystyle{ T(5x-7y)=5T(x)-7T(y)=15x-14y=\lambda (5x-7y)\Rightarrow \begin{cases} 15=5\lambda \\ 14=7\lambda \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \lambda=3 \\ \lambda=2 \end{cases}}\)
a więc sprzeczność
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Przestrzeń i wartość własna przekształcenia liniowego

Post autor: MakCis »

No tak, ale mozna przeciez rozważyc jeszcze przypadek \(\displaystyle{ \begin{cases} 15x=- \lambda 7y \\ -14y= 5 \lambda x\end{cases}}\) i co wtedy?
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Przestrzeń i wartość własna przekształcenia liniowego

Post autor: octahedron »

Skoro przekształcenie jest liniowe i \(\displaystyle{ T(x)=3x}\) i \(\displaystyle{ T(y)=2y}\), to \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) muszą być wektorami niezależnymi liniowo, więc nie istnieje takie \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ x=\alpha\cdot y}\) lub odwrotnie, innymi słowy nie otrzymam \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ y}\), więc może być tylko tak, jak napisałem
ODPOWIEDZ