Rząd macierzy w zależności od parametru

[divii]

Jak rozwiązać takie zadanie?
W zależności od parametru λ wyznacz rząd macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}\lambda+1&2&1-\lambda&1\\4&\lambda+8&-4&4\\\lambda&2\lambda&-1&\lambda\end{array}\right]}\)

Myślałem nad tym, żeby po przez przekształcenia elementarne, doprowadzić ją do macierzy kwadratowej diagonalnej a następnie sprawdzić, jaki wynik w zależności od parametru, daje iloczyn liczb na przekątnej. Nie wiem, czy dobrze rozumuje.

[aikon]

Zaczynasz od tego, że wybierasz sobie dowolny największy minor danej macierzy.

Na przykład:
(zamiast lambda piszę "p", bo tak wygodniej)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&p-1&1\\p+8&-4&4\\2p&-1&p\end{array}\right|}\)

Teraz trzeba obliczyć ten minor (wyznacznik). Najlepiej z reguły Sarrusa, czy z czego tam chcesz. W każdym razie mi wyszedł on tak:

\(\displaystyle{ -p^3 + p^2 -p}\)

Jeżeli minor jest niezerowy, to rząd macierzy jest równy 3. Ale my chcemy zbadać co się dzieje gdy minor jest zerowy, więc przyrównujesz ten wyznacznik do zera.

Czyli rozwiązujesz równanie:
\(\displaystyle{ -p^3 + p^2 -p = 0}\)

Ma ono tylko jeden pierwiastek rzeczywisty \(\displaystyle{ p_1 = 0}\)
Czyli gdy p≠0 , to rząd jest równy 3. Zbadamy teraz co jest gdy p=0.
Podstawiasz więc p=0 do macierzy głównej i obliczasz jej rząd.

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&2&-1&1\\4&8&-4&4\\0&0&-1&0\end{array}\right|}\)

Tu można podzielić drugi wiersz przez 4 i widać że mamy dwa jednakowe wiersze, wiec jeden z nich wykreślamy i zostaje:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&2&-1&1\\0&0&-1&0\end{array}\right|}\)

A rząd tej macierzy jest równy 2.

Zatem odpowiedź.
Dla p≠0 rząd jest równy 3
Dla p=0 rząd jest równy 2.

[Caicek]

Witam Postaram Ci sie pomoc. Otoz ta macierz da sie sprowadzic po przeksztalceniach elementarnych do takiej oto ciekawej postaci :

\(\displaystyle{ \lambda^4*\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{array}\right]}\)

Z tej postaci latwo odczytaj rzad maceirzy Wynosi on 3 gdyz sklada sie z trzech liniowo niezaleznych wektorow, ktore notabene tworza baze przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\).
Natomiast jesli chodzi o rozwiazanie zadania to rzad macierzy wynosi 3 dla \(\displaystyle{ \lambda\neq0}\), natomiast dla rownego 0 rzad macierzy wynosi 0 Jesli sie nie pomylilem podczas przeksztalcen, w co watpie bo wyszla fajna postac koncowa macierzy, to rozwiazanie jest takie jak powiedzialem. Pozdrawiam:)

@aikon troche wyniki sie roznia

[aikon]

Caicek, bo widzę że zrobiłem mały błąd rachunkowy. Zaraz przeliczę jeszcze raz i zobaczę co to wyjdzie...

W każdym razie, divii, schemat znasz.

[divii]

A mi po przekształceniach wyszło coś takiego:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)

Z tego wynika:

\(\displaystyle{ \lambda\neq0 rz = 3}\)
\(\displaystyle{ \lambda=0 rz = 2}\)

Oczywiście mogłem się gdzieś pomylić przy obliczeniach.

[Caicek]

Napisze moje przeksztalcenia
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}p+1&2&1-p&1\\4&p+8&-4&4\\p&2p&-1&p\end{array}\right]
= ft[\begin{array}{cccc}p&0&1-p&1\\0&p&-4&4\\0&0&-1&p\end{array}\right]
=\lambda^2*\left[\begin{array}{cccc}1&0&1-p&1\\0&1&-4&4\\0&0&-1&p\end{array}\right]
=\lambda^2*\left[\begin{array}{cccc}1&0&1-p&0\\0&1&-4&0\\0&0&-1&p\end{array}\right]
= \lambda^2*\left[\begin{array}{cccc}1&0&1-p&0\\0&1&-4&0\\0&0&-1&p\end{array}\right] =
\lambda^3*\left[\begin{array}{cccc}1&0&-p&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{array}\right] =
\lambda^4*\left[\begin{array}{cccc}1&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{array}\right] =
\lambda^4*\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)

lamda oczywisie = p Zaczalem od tego ze od C1 - C4 i C2-2C4, pozniej C1-C4, C4-4C2 i wylaczylem lambda przed nawias, nastepnie: C3+C4 i C3+4C2, lambda przed nawias i skreslilem podobna kolumne Amen.

[przemek117]

Zaczynasz od tego, że wybierasz sobie dowolny największy minor danej macierzy

Można jakoś uzasadnić, że można wybrać dowolny minor? (rozumiem że chodzi o macierz kwadratową)

Na zajęciach mając macierz 3x4 wykreślaliśmy jedną dowolną linijkę aby jak najmocniej uprościć liczenie. A jeśli byłoby zadanie z macierzą 4x6, czy w takim razie skreślam dowolne dwie kolumny? A może mogę skreślić trzy kolumny i jeden wiersz? I, co najważniejsze, czy to są dowolne kolumny czy też wszystke możliwe kombinacje należy rozpatrzyć?
Z góry dziękuję za odpowiedź.

[PiotrowskiW]

Przeczytaj sobie definicję rzędu macierzy. To ci bardzo dużo wyjaśni.

[przemek117]

Przeczytaj sobie definicję rzędu macierzy. To ci bardzo dużo wyjaśni.

Oczywiście czytałem przed napisaniem tutaj. Ale gdy przychodzi do pełnego zrozumienia tego co się robi rozwiązując zadanie to nie rozumiem tych kwestii o które zapytałem. Próbowałem szukać w notatkach ale podczas wykładu nie było pokazywane w praktyce jak liczyć rząd metodą z minorami. (Była metoda Gausssa tylko)

[PiotrowskiW]

To nie chodzi o metodę rozwiązywania tylko o ideę.
Myślałem, że nie zrozumiałeś dlaczego skreślamy jakieś wiersze albo kolumny.

[a4karo]

Witam Postaram Ci sie pomoc. Otoz ta macierz da sie sprowadzic po przeksztalceniach elementarnych do takiej oto ciekawej postaci :

\(\displaystyle{ \lambda^4*\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{array}\right]}\)

Z tej postaci latwo odczytaj rzad maceirzy Wynosi on 3 gdyz sklada sie z trzech liniowo niezaleznych wektorow, ktore notabene tworza baze przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\).
Natomiast jesli chodzi o rozwiazanie zadania to rzad macierzy wynosi 3 dla \(\displaystyle{ \lambda\neq0}\), natomiast dla rownego 0 rzad macierzy wynosi 0 Jesli sie nie pomylilem podczas przeksztalcen, w co watpie bo wyszla fajna postac koncowa macierzy, to rozwiazanie jest takie jak powiedzialem. Pozdrawiam:)

@aikon troche wyniki sie roznia

No to "pomogłes" podając zupełnie bezsensowny wynik: jedyna macierz, którey rząd jest zero to macierz złozona z samych zer.

A co to w ogóle znaczy, "wyszła macierz" czy to, ze wyjściowa i końcowa maja taki sam rząd, czy to, e są w jakimś (jaim?) sensie równoważne.
I wreszcie Jaki wg. Ciebie jest rząd macierzy \(\displaystyle{ 0*X}\) (gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest czymkolwiek)

[PiotrowskiW]

Na zajęciach mając macierz 3x4 wykreślaliśmy jedną dowolną linijkę aby jak najmocniej uprościć liczenie. A jeśli byłoby zadanie z macierzą 4x6, czy w takim razie skreślam dowolne dwie kolumny? A może mogę skreślić trzy kolumny i jeden wiersz? I, co najważniejsze, czy to są dowolne kolumny czy też wszystke możliwe kombinacje należy rozpatrzyć?
Z góry dziękuję za odpowiedź.

Przypomnę (niezbyt dokładnie) definicje.
Rzędem kolumnowym macierzy nazywamy maksymalną liniowo niezależną liczbę kolumn danej macierzy.
Rzędem wierszowym macierzy nazywamy maksymalną liniowo niezależną liczbę wierszy danej macierzy.

Dowodzi się, że rząd kolumnowy macierzy = rzędowi wierszowemu i tę wspólną wartość nazywamy rzędem macierzy.

Ustalmy macierz o wymiarach \(\displaystyle{ n \times m}\)
Z powyższych definicji wynika od razu, że jej rząd jest nie większy niż \(\displaystyle{ min(n,m)}\)

W szczególności jeżeli wierszy jest więcej niż kolumn, to możemy skreślić dowolne wiersze, tak aby doprowadzić do równości liczby wierszy i kolumn.
Dowolność wynika to z definicji kombinacji liniowej wektorów- tego już nie będę przypominał.
Analogicznie dla kolumn.

Gdy masz już macierz kwadratową, powiedzmy A to możesz policzyć jej wyznacznik.
1) gdy \(\displaystyle{ detA=0}\) to znaczy że wektory tworzące tę macierz są liniowo zależne.
2) gdy \(\displaystyle{ detA \neq 0}\) to są liniowo niezależne.
W przypadku 1) należy to dalej badać- wyrzucić jeden , znowu dowolny, wektor i np. sprawdzać z definicji.

[a4karo]

W szczególności jeżeli wierszy jest więcej niż kolumn, to możemy skreślić dowolne wiersze, tak aby doprowadzić do równości liczby wierszy i kolumn.
Dowolność wynika to z definicji kombinacji liniowej wektorów- tego już nie będę przypominał.
Analogicznie dla kolumn.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0\\
1&0&0
\end{bmatrix}}\)

dowolny? to wykreśl ostatni

[PiotrowskiW]

Nie rozumiem w czym problem.

[a4karo]

Ano w tym, że jak wykreślisz dowolny (ostatni) to z macierzy rzedu 1 robi sie macierz rzędu 0