Rząd macierzy w zależności od parametru

[PiotrowskiW]

No dobrze. To jak to poprawić? Dowolny niezerowy czy ogólnie jest źle? (zawodna pamięć)

[a4karo]

JAk pamięć nie dopisuje, to sprawdź przed wpisywaniem takich "porad".
Wykreślac można tylko te liniowo zależnie. Ale skąd można z góry wiedzieć które to są?

[przemek117]

Wracamy do mojego pytania
Skąd wiem że ten jeden jest zależny od tamtego a ten inny od kolejnego nie. Czasami widać, ale gdy jest parametr to zdecydowanie nie widać. I jeśli mam teraz macierz 3x4 i wykreślę jedną kolumnę, a potem wykreślę zamiast niej inną, to raz mogłem wykreślić kolumnę zależną, a raz nie.
I gdzie jest błąd w naszym rozumowaniu?

[a4karo]

W takim przypadku nie wiesz co jest od czego zależne. Akurat w tym przypadku rozwiązanie jest dosyć proste (patrz post aikona)

Ogólnej metody nie ma - operacje elementarne na wierszach i kolumnach pozwolą jedynie zredukować ilość obliczeń niezbędnych do ustalenia rzędu. W koncu i tak trzeba liczyć wyznaczniki (czasem tak proste, że niezerowośc widac bez liczenia) a czasem skomplikowane (nie każda macierz ma wyłacznie wyrazy całkowite )

[przemek117]

Czyli jak od razu wyznacznik wyjdzie 0 to biorę jakiś inny. A jeśli wyjdzie mi wyrażenie ze względu na p i potem jakieś wyniki to czy po skreśleniu innej kolumny może mi wyjść inne wyrażenie i inne wyniki? Jak to sobie wytłumaczyć i uzasadnić?

[a4karo]

Szukanie rzędu macierzy to poszukiwanie dużych (w sensie rozmiaru) niezerowych wyznaczników. Gdy zaczniesz od dowolnego maksymalnego wyznacznika zależnego od parametru \(\displaystyle{ \lambda}\), to wynikiem będzie jakaś funkcja \(\displaystyle{ f(\lambda)}\). Dla wszystkich \(\displaystyle{ \lambda}\) dla których \(\displaystyle{ f(\lambda)\neq 0}\) masz sprawę załatwioną, bo rząd macierzy jest wtedy maksymalny.
Pozostaje tylko sprawdzić co sie dzieje dla tych parametrów, które sa pierwiastkami \(\displaystyle{ f}\).

Na ogół \(\displaystyle{ f}\) jest wielomianem (choć niekoniecznie) i wtedy mamy do czynienia ze skończoną ilością przypadków, z których każdy trzeba rozważyć indywidualnie.

No chyba, że trafisz na takiego złośliwca
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1-\lambda & 2-\lambda &3\\
3+2\lambda & 3\lambda & -1\\
-1-4\lambda & 4-5\lambda & 7
\end{bmatrix}}\)