Równanie macierzowe

[niusiaa9]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-60&120&14\\-3&6&0\\-21&42&-42\end{array}\right]\cdot X ^{T} = \left[\begin{array}{ccc}692&-1&272\\458&-7&384\\11&-22&323\end{array}\right]}\)

Czy to równanie macierzowe jest sprzeczne?
Chciałam policzyć macierz odwrotną do tej \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-60&120&14\\-3&6&0\\-21&42&-42\end{array}\right]}\), ale jej wyznacznik wychodzi 0. Czy skoro nie ma macierzy odwrotnej, to nie ma rozwiązania tego równania ?

[DjFlash]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-60&120&14\\-3&6&0\\-21&42&-42\end{array}\right]\cdot X ^{T} = \left[\begin{array}{ccc}692&-1&272\\458&-7&384\\11&-22&323\end{array}\right]}\)

Czy to równanie macierzowe jest sprzeczne?
Chciałam policzyć macierz odwrotną do tej \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-60&120&14\\-3&6&0\\-21&42&-42\end{array}\right]}\), ale jej wyznacznik wychodzi 0. Czy skoro nie ma macierzy odwrotnej, to nie ma rozwiązania tego równania ?

Nie koniecznie.

Weź np

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-1&0\\1&0\end{array}\right]\cdot X = \left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]}\).

Wyznacznik pierwszej jest \(\displaystyle{ 0}\), ale rozwiazaniem sa macierze postaci:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\x&y\end{array}\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y \in R}\).

Ja bym sugerował wyzerować jak najwiecej wyrazów w pierwszej macierzy. Można ja doprowadzic np do takiej:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&14\\-3&0&0\\0&0&0\end{array}\right]}\)....

Jak znow utkniesz to pisz

[fon_nojman]

niusiaa9 w tym zadaniu rzeczywiście nie ma rozwiązania. Po lewej masz macierz osobliwą a po prawej nieosobliwą \(\displaystyle{ (det(AB)=detA\ detB).}\)

-- 3 kwi 2011, o 23:52 --

DjFlash co nam da zerowanie wyrazów?

[DjFlash]

niusiaa9 w tym zadaniu rzeczywiście nie ma rozwiązania. Po lewej masz macierz osobliwą a po prawej nieosobliwą \(\displaystyle{ (det(AB)=detA\ detB).}\)

-- 3 kwi 2011, o 23:52 --

DjFlash co nam da zerowanie wyrazów?

To, że w kolejnym kroku jasno widać, że nie ma rozwiązania.

Tak, żeby sie "naocznie" przekonac.

[fon_nojman]

Nie widzę tego. Doprowadzamy naszą macierz do postaci

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&14\\-3&0&0\\0&0&0\end{array}\right]}\)

i co dalej?

[DjFlash]

Nie widzę tego. Doprowadzamy naszą macierz do postaci

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&14\\-3&0&0\\0&0&0\end{array}\right]}\)

i co dalej?

Mozna latwo zobaczyc ze wszystkie wyrazy ww ostatnim wierszu macierzy po prawej stronie rownania (po wymnozeniu) musza sie zerowac. A tak nie jest.

[fon_nojman]

Zastanawia mnie czy możemy działać sobie bezkarnie na macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-60&120&14\\-3&6&0\\-21&42&-42\end{array}\right]}\) zostawiając pozostałe nieruszone?

[DjFlash]

Gdybysmy oczekiwali wyniku to faktycznie nie mozna.

troche do przesady chcialem uproscic pokazanie, że to rownanie nie ma rozwiazania.

[niusiaa9]

A czy w takim razie mogę z tego, że macierz po jednej stronie jest osobliwa a z drugiej nieosobliwa wnioskować, że równanie nie ma rozwiązania?

[fon_nojman]

Tak, z wł wyznacznika \(\displaystyle{ (det(AB)=detA\ detB).}\)

Z jednej strony
\(\displaystyle{ det\left(\left[\begin{array}{ccc}-60&120&14\\-3&6&0\\-21&42&-42\end{array}\right]\cdot X ^{T}\right)=det\left[\begin{array}{ccc}-60&120&14\\-3&6&0\\-21&42&-42\end{array}\right]detX ^{T}=0,}\)
z drugiej
\(\displaystyle{ det \left[\begin{array}{ccc}692&-1&272\\458&-7&384\\11&-22&323\end{array}\right] \neq 0.}\)