Macierz z parametrem

[MaroPL]

Dla jakiej wartości parametru a rząd macierzy jest równy 3?

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a&1&0&-1\\1&0&-1&-a\\-1&a&2&1\\a&-a&1&a\end{vmatrix}}\) i doszedłem do postaci: \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -1&0&1&-a\\0&1&a&-1\\0&a&1&1-2a\\0&-a&a+1&0\end{vmatrix}}\) i nie wiem co dalej...

[Afish]

Zakładając, że przekształcenia są poprawne, oblicz wyznacznik macierzy rozwijając pierwszą kolumnę, następnie przyrównaj do zera. Otrzymasz jakieś rozwiązanie na \(\displaystyle{ a}\), które potem wstaw do tej macierzy i sprawdź, czy rząd jest równy 3.

[MaroPL]

Kompletnie nie wiem co masz na myśli...

[Afish]

oblicz wyznacznik macierzy (...) następnie przyrównaj do zera.

[MaroPL]

Dobrze. Więc wyznacznik macierzy jest równy: \(\displaystyle{ a - 2a^{3}}\) i teraz mam rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ a - 2a^{3}=0}\)?

[Afish]

Tak. Następnie wyliczone rozwiązania podstaw do macierzy i oblicz jej rząd dowolną metodą.

[MaroPL]

Z równania \(\displaystyle{ a - 2a^{3} = 0}\) wyszło mi:
\(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ a= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i \(\displaystyle{ a= - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Wynik powinien być 1.
Ja podstawiam każdą z tych liczb i nie wychodzi. Już sie pogubiłem.

[Afish]

Wolfram twierdzi, że źle obliczyłeś wyznacznik (ewentualnie źle poprzekształcałeś macierz). Przelicz to na spokojnie.

[MaroPL]

Więc od początku:

Mamy macierz:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a&1&0&-1\\1&0&-1&-a\\-1&a&2&1\\a&-a&1&a\end{vmatrix}}\)

Po przenosinach kolumn (zamieniam 3 z 1), wierszy (2 z 1) i eliminacji (W3+2W1 & W4+W1) mam następującą macierz:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -1&0&1&-a\\0&1&a&-1\\0&a&1&1-2a\\0&-a&a+1&0\end{vmatrix}}\)

Teraz wg Twoich wskazówek obliczam wyznacznik macierzy w oparciu o pierwszą kolumnę:

\(\displaystyle{ det= (-1)*(-1)^{2} * \begin{vmatrix} 1&a&-1\\a&1&1-2a\\-a&a+1&0\end{vmatrix}}\)

Co daje wynik:

\(\displaystyle{ -2a^{3}+a+1}\)

Przyrównuję do 0:

\(\displaystyle{ -2a^{3}+a+1=0}\)

I tego nie potrafię rozwiązać ani schematem Hornera ani niczym. Więc znów jestem w punkcie wyjścia.

[michary91]

\(\displaystyle{ a=1}\)

[MaroPL]

Dzięki wielkie!

czyli:

a=1

podstawiam i:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -1&0&1&-1\\0&1&1&-1\\0&1&1&-1\\0&-1&2&0\end{vmatrix}}\)

Teraz zamieniam 4 kolumnę z 2-gą:


\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -1&-1&1&0\\0&-1&1&1\\0&-1&1&1\\0&0&2&-1\end{vmatrix}}\)

Czy teraz muszę jeszcze jakieś eliminacje robić?

[Afish]

Tak, bo jeszcze nie widać tego, że rząd jest równy 3. Odejmij od siebie wiersz drugi i trzeci, i to będzie na tyle. Poza tym wyznacznik był równaniem trzeciego stopnia, więc wypadałoby znaleźć pozostałe dwa pierwiastki (pewnie nie będą one rzeczywiste, ale dla formalności przelicz deltę).

[MaroPL]

Delta tam była mniejsza od zera... OK to by było na tyle. Dzięki wielkie za pomoc .