Baza przestrzeni liniowej

[PrzeChMatematyk]

Pytanie o formalny zapis.
załóżmy że mamy bazę ortonormalną złożoną z wektorów \(\displaystyle{ v_1,v_2}\), wektor:
\(\displaystyle{ \phi=3v_1+2v_2}\)
Oraz macierz przekształcenia w tej bazie daną przez:

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\4&5\end{array}\right]}\)

Przekształcenie wektora \(\displaystyle{ \phi}\) korzystając z \(\displaystyle{ A}\) jest oczywiste ale jak formalnie to zapisujemy że to jest w bazie \(\displaystyle{ v_1,v_2}\)?

Tzn:
\(\displaystyle{ A(3v_1+2v_2)=3Av_1+2Av_2}\) jak tłumaczymy się z \(\displaystyle{ Av_1,Av_2}\)?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ A(3v_1+2v_2)=3Av_1+2Av_2}\) jak tłumaczymy się z \(\displaystyle{ Av_1,Av_2}\)?

Jeśli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest w bazie \(\displaystyle{ v_1,v_2}\) to taki zapis chyba nie będzie tu najlepszy. Raczej
\(\displaystyle{ A(3e_1+2e_2)=3Ae_1+2Ae_2}\).

I wynik wyjdzie też w tej bazie.

[PrzeChMatematyk]

no tak, to jest poprawnie, ale jak omijamy w tym wszystkim \(\displaystyle{ v_1,v_2}\)
tak ogólnie niech \(\displaystyle{ v_i}\) to wektory bazy A to przekształcenie zatem każdy wektor to:
\(\displaystyle{ \phi=\sum_i c_i v_i}\) jak zatem zapisujemy działanie operatorem A( w bazie \(\displaystyle{ v_i}\)) na to \(\displaystyle{ \phi}\).

[norwimaj]

no tak, to jest poprawnie, ale jak omijamy w tym wszystkim \(\displaystyle{ v_1,v_2}\)
tak ogólnie niech \(\displaystyle{ v_i}\) to wektory bazy A to przekształcenie zatem każdy wektor to:
\(\displaystyle{ \phi=\sum_i c_i v_i}\) jak zatem zapisujemy działanie operatorem A( w bazie \(\displaystyle{ v_i}\)) na to \(\displaystyle{ \phi}\).

Napisz jeszcze raz na spokojnie, bo nie mogę sparsować. Zdania oddzielaj kropkami. Na końcu zdania pytającego stawiaj pytajnik.-- 2 kwi 2011, o 22:10 --No dobrze, jednak da się zrozumieć.

Macierz \(\displaystyle{ A}\) działa na współrzędnych w bazie ( w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) ? tak miało być?). Zatem macierz \(\displaystyle{ A}\) przykładamy do wektora
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}c_1\\c_2\\ \vdots \\c_n\end{array}\right)}\).

Jeśli chcemy na koniec otrzymać wynik w bazie standardowej, to jeszcze musimy do tego przyłożyć z lewej strony macierz \(\displaystyle{ S}\), w której kolumnach stoją wektory z bazy \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\).