Pytanie o formalny zapis.
załóżmy że mamy bazę ortonormalną złożoną z wektorów \(\displaystyle{ v_1,v_2}\), wektor:
\(\displaystyle{ \phi=3v_1+2v_2}\)
Oraz macierz przekształcenia w tej bazie daną przez:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\4&5\end{array}\right]}\)
Przekształcenie wektora \(\displaystyle{ \phi}\) korzystając z \(\displaystyle{ A}\) jest oczywiste ale jak formalnie to zapisujemy że to jest w bazie \(\displaystyle{ v_1,v_2}\)?
Tzn:
\(\displaystyle{ A(3v_1+2v_2)=3Av_1+2Av_2}\) jak tłumaczymy się z \(\displaystyle{ Av_1,Av_2}\)?
Baza przestrzeni liniowej
- PrzeChMatematyk
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 17:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 20 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Baza przestrzeni liniowej
Jeśli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest w bazie \(\displaystyle{ v_1,v_2}\) to taki zapis chyba nie będzie tu najlepszy. RaczejPrzeChMatematyk pisze: \(\displaystyle{ A(3v_1+2v_2)=3Av_1+2Av_2}\) jak tłumaczymy się z \(\displaystyle{ Av_1,Av_2}\)?
\(\displaystyle{ A(3e_1+2e_2)=3Ae_1+2Ae_2}\).
I wynik wyjdzie też w tej bazie.
- PrzeChMatematyk
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 17:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 20 razy
Baza przestrzeni liniowej
no tak, to jest poprawnie, ale jak omijamy w tym wszystkim \(\displaystyle{ v_1,v_2}\)
tak ogólnie niech \(\displaystyle{ v_i}\) to wektory bazy A to przekształcenie zatem każdy wektor to:
\(\displaystyle{ \phi=\sum_i c_i v_i}\) jak zatem zapisujemy działanie operatorem A( w bazie \(\displaystyle{ v_i}\)) na to \(\displaystyle{ \phi}\).
tak ogólnie niech \(\displaystyle{ v_i}\) to wektory bazy A to przekształcenie zatem każdy wektor to:
\(\displaystyle{ \phi=\sum_i c_i v_i}\) jak zatem zapisujemy działanie operatorem A( w bazie \(\displaystyle{ v_i}\)) na to \(\displaystyle{ \phi}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Baza przestrzeni liniowej
Napisz jeszcze raz na spokojnie, bo nie mogę sparsować. Zdania oddzielaj kropkami. Na końcu zdania pytającego stawiaj pytajnik.-- 2 kwi 2011, o 22:10 --No dobrze, jednak da się zrozumieć.PrzeChMatematyk pisze:no tak, to jest poprawnie, ale jak omijamy w tym wszystkim \(\displaystyle{ v_1,v_2}\)
tak ogólnie niech \(\displaystyle{ v_i}\) to wektory bazy A to przekształcenie zatem każdy wektor to:
\(\displaystyle{ \phi=\sum_i c_i v_i}\) jak zatem zapisujemy działanie operatorem A( w bazie \(\displaystyle{ v_i}\)) na to \(\displaystyle{ \phi}\).
Macierz \(\displaystyle{ A}\) działa na współrzędnych w bazie ( w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) ? tak miało być?). Zatem macierz \(\displaystyle{ A}\) przykładamy do wektora
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}c_1\\c_2\\ \vdots \\c_n\end{array}\right)}\).
Jeśli chcemy na koniec otrzymać wynik w bazie standardowej, to jeszcze musimy do tego przyłożyć z lewej strony macierz \(\displaystyle{ S}\), w której kolumnach stoją wektory z bazy \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\).