Znaleźć baze przestrzeni liniowej

[Saczek]

Witam,
mam problem. więc muszę znaleźć bazę przestrzeni liniowej

\(\displaystyle{ V = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} : 3x-2y+z = 0 }}\)

myślałem, że będzie to baza (3,-2,1) ale jak się okazało tak nie jest...
mógłby mi ktoś wyjaśnić jak to poprawnie zrobić ??

[maciejsporysz]

Wylicz jedną ze zmiennych:
\(\displaystyle{ z=2y-3x}\)
Dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) możesz zapisać jako \(\displaystyle{ (x,y,2y-3x)=x(1,0,-3)+y(0,1,2)}\)
I baza gotowa

[szw1710]

Macieju

Pokazałeś rozpinanie przez te dwa wektory. Do sprawdzenia jest jeszcze ich liniowa niezależność. To formalność, ale chyba konieczna Intuicja mówi, że płaszczyzna jest dwuwymiarowa, ale student to chyba musi pokazać.

[maciejsporysz]

W ogólnym przypadku zgoda. Ale tutaj nie ma innej możliwości. Gdyby takowa istniała, oznaczałoby to dodatkową zależność np x od y.

[szw1710]

Wiadomo, że to trywialne. Chodzi mi o to, że student powinien jednak sprawdzić. Przynajmniej powiedzieć, że te dwa wektory są liniowo niezależne, bo to widać (czy też użyć bardziej precyzyjnego tłumaczenia). Ale przecież z łatwością możesz wskazać trzy wektory rozpinające tę płaszczyznę. Dlaczego więc one nie są bazą. No właśnie Bo nie są liniowo niezależne. Uważam, że liniowa niezależność wymaga jednak sprawdzenia.

[maciejsporysz]

Trochę to inna sytuacja. Mamy przestrzeń trójwymiarową. Wprowadzone równanie zmniejsza jej wymiar do dwóch. Znalezione wektory generują przestrzeń dwuwymiarową, więc muszą być liniowo niezależne.
Ale tak naprawdę sprzeczamy się o detal, żeby nie napisać, że przypomina to wymianę poglądów dwóch jurystów ...

[Saczek]

spoko, już i tak pomogliście
dzięki wielkie

[szw1710]

Nie sprzeczamy się, myślę Wydaje mi się, że dla nas, rutyniarzy, jest oczywiste, że płaszczyzna jest dwuwymiarowa. Przecież Twoje zdanie

Znalezione wektory generują przestrzeń dwuwymiarową, więc muszą być liniowo niezależne.

świadczy, że posługujesz się intuicją. Student musi się od niej uwolnić, przynajmniej na egzaminie Poza tym intuicja to podstawa i bez niej niewiele byśmy zrobili. Chodzi mi więc o sposób prezentacji, żeby po prostu wziąć te dwa wektory, zbudować np. macierz, znaleźć minor niezerowy \(\displaystyle{ 2\times 2}\) i stwierdzić, że wobec tego te wektory są liniowo niezależne. Tym bardziej, że autor wątku pyta, jak zadanie zrobić.

[xanowron]

Sposób pokazany w drugim poście jest zawsze skuteczny, podstawiamy kolejno pod zmienne wolne jedynkę i w reszcie zera i dostajemy piękną bazę, można dość żmudnie udowodnić, że to zawsze działa, ale czy jest sens? To raczej podstawowy algorytm, przynajmniej u mnie nigdy się nie wymaga dodatkowego dowodzenia liniowej niezależności przy jego stosowaniu
Inna sprawa to jak autor tematu ma prowadzony wykład, może u nie korzysta się z innego algorytmu?

[szw1710]

xanowron, maciejsporysz

Przegłosowaliście mnie Może kieruję się zbytnim puryzmem. Na własny użytek też w życiu bym niezależności nie sprawdzał. Ewentualnie "na oko", bo to naprawdę widać.

Pozdrawiam serdecznie.

[maciejsporysz]

Przegłosowaliście mnie

Oj teraz to się obraziłem...
Po prostu tak nie można. To jest matematyka a nie demokracja. Tu nie ma mowy o przegłosowaniu. Tutaj liczą się argumenty a nie większość . Bo później wygląda to tak jak z witaniem nowego tysiąclecia. Świętowano je z 31 grudnia 1999 na 1 stycznia 2000. Choć tak po prawdzie było dokładnie rok później. Ale taka jest demokracja...

Wolę byśmy wymieniali poglądy, mieli inne zdanie. Czasem ktoś kogoś przekona. Ale argument odnośnie głosowanie urąga mojemu przeciętnemu IQ
PS. Może ten post brzmi bardzo stanowczo i niemiło, ale lubię moderatora szw1710. Proszę się na mnie nie gniewać

[szw1710]

Macieju, to był trochę żart Chciałem powiedzieć, że jeśli dwie osoby wypowiadają się mniej więcej jednym tonem, to jest to dla mnie powód do zastanowienia

Ja też cenię Twoje posty. Pozdrawiam serdecznie.